Как можно доказать, что из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат, если длины сторон прямоугольников выражаются натуральными числами?

Математика 8 класс Оптимизация площади прямоугольников математика 8 класс доказательство прямоугольники периметр 16 см наибольшая площадь квадрат натуральные числа свойства прямоугольников площадь прямоугольника сравнение площадей Новый

Чтобы доказать, что из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат, давайте начнем с определения периметра и площади прямоугольника.

1. Определим периметр:

Периметр прямоугольника можно выразить через его стороны: P = 2 * (a + b), где a и b – длины сторон прямоугольника. В данном случае, периметр равен 16 см, то есть:

2 * (a + b) = 16

Разделим обе стороны уравнения на 2:

a + b = 8

2. Определим площадь:

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = a * b. Теперь нам нужно выразить одну из сторон через другую. Например, выразим b:

b = 8 - a

Теперь подставим b в формулу для площади:

S = a * (8 - a) = 8a - a²

3. Исследуем площадь:

Теперь мы видим, что площадь S = 8a - a² является квадратичной функцией, которая имеет параболическую форму. Для данной функции максимум будет достигнут в ее вершине.

Вершина параболы находится по формуле a = -b/(2a), где b и a – коэффициенты при a и a² соответственно. Здесь b = 8, a = -1:

a = -8 / (2 * -1) = 4

Таким образом, максимальное значение площади достигается при a = 4. Подставим это значение обратно в уравнение для b:

b = 8 - 4 = 4

4. Проверим площадь квадрата:

Теперь у нас есть стороны a = 4 и b = 4, то есть мы имеем квадрат со стороной 4 см:

Площадь квадрата будет равна:

S = 4 * 4 = 16 см²

5. Сравним с другими прямоугольниками:

Теперь давайте рассмотрим другие пары натуральных чисел a и b, которые в сумме дают 8:

• a = 1, b = 7: S = 1 * 7 = 7 см²
• a = 2, b = 6: S = 2 * 6 = 12 см²
• a = 3, b = 5: S = 3 * 5 = 15 см²
• a = 4, b = 4: S = 4 * 4 = 16 см² (максимум)

Как видно, максимальная площадь 16 см² достигается именно в случае квадрата со сторонами 4 см. Таким образом, из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат. Мы доказали нашу теорию.