Как можно доказать тождество: (a^(3)-8)/(a^(2)+2a+4)+2=(a^(3)+3a)/(a^(2)+3)?

Математика 8 класс Тождества и преобразования дробей доказательство тождества математика 8 класс алгебра дроби тождества уравнения математические выражения решение задач Новый

Для доказательства тождества (a^(3)-8)/(a^(2)+2a+4)+2=(a^(3)+3a)/(a^(2)+3) мы будем поэтапно преобразовывать левую часть и сравнивать её с правой. Начнем с левой части:

Шаг 1: Упростим левую часть

Левая часть тождества выглядит так:

(a^(3) - 8)/(a^(2) + 2a + 4) + 2

Для того чтобы сложить дробь с целым числом, нужно привести 2 к общему знаменателю. Общий знаменатель будет (a^(2) + 2a + 4). Мы можем записать 2 как:

2 = 2 * (a^(2) + 2a + 4)/(a^(2) + 2a + 4) = (2a^(2) + 4a + 8)/(a^(2) + 2a + 4)

Теперь подставим это в левую часть:

(a^(3) - 8)/(a^(2) + 2a + 4) + (2a^(2) + 4a + 8)/(a^(2) + 2a + 4)

Теперь объединим дроби:

(a^(3) - 8 + 2a^(2) + 4a + 8)/(a^(2) + 2a + 4)

Сложим числитель:

(a^(3) + 2a^(2) + 4a)/(a^(2) + 2a + 4)

Шаг 2: Упростим правую часть

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

(a^(3) + 3a)/(a^(2) + 3)

Шаг 3: Сравним обе части

Теперь нам нужно убедиться, что обе части равны. Мы видим, что у нас есть:

(a^(3) + 2a^(2) + 4a)/(a^(2) + 2a + 4) и (a^(3) + 3a)/(a^(2) + 3).

Для этого мы можем попытаться привести обе части к одному виду или проверить, равны ли числители при равных знаменателях.

Шаг 4: Приведение к общему знаменателю

Чтобы упростить задачу, давайте умножим обе части на (a^(2) + 2a + 4)(a^(2) + 3) для удаления знаменателей:

Левая часть: (a^(3) + 2a^(2) + 4a)(a^(2) + 3)

Правая часть: (a^(3) + 3a)(a^(2) + 2a + 4)

Теперь раскроем скобки в обеих частях:

• Левая часть: a^(5) + 3a^(3) + 2a^(4) + 6a^(2) + 4a^(3) + 12a = a^(5) + 2a^(4) + 7a^(3) + 6a^(2) + 12a
• Правая часть: a^(5) + 2a^(4) + 4a^(3) + 3a^(3) + 6a + 12a = a^(5) + 2a^(4) + 7a^(3) + 6a + 12a

Теперь сравним результаты. Мы видим, что обе части равны, что доказывает тождество:

(a^(3)-8)/(a^(2)+2a+4)+2=(a^(3)+3a)/(a^(2)+3)

Таким образом, мы доказали, что данное тождество верно.