Как можно найти значение конечной суммы S, которая представлена в виде S = 1/3 + 3/3^2 + 5/3^3 + 7/3^4 + ... + (2n-1)/3^n?

Математика 8 класс Неопределённые последовательности и ряды конечная сумма S математика 8 класс последовательности и ряды нахождение суммы ряда дробные выражения математические задачи формула суммы ряда Новый

Чтобы найти значение конечной суммы S, представленной в виде:

S = 1/3 + 3/3^2 + 5/3^3 + 7/3^4 + ... + (2n-1)/3^n,

нам нужно разобраться с формой каждого слагаемого и определить, как можно упростить всю сумму. Обратите внимание, что в каждом слагаемом числитель представляет собой нечетное число, которое можно выразить как (2k - 1), где k - это номер слагаемого.

Таким образом, мы можем переписать сумму S в виде:

S = Σ (2k - 1) / 3^k, где k принимает значения от 1 до n.

Теперь разделим сумму на две части:

1. S1 = Σ 2k / 3^k
2. S2 = Σ 1 / 3^k

Теперь мы можем выразить S через S1 и S2:

S = S1 - S2

Теперь давайте найдем S1 и S2 по отдельности.

1. Нахождение S2:

S2 представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член a = 1/3 и знаменатель q = 1/3. Сумма первых n членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

S2 = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Подставив значения, получаем:

S2 = (1/3) * (1 - (1/3)^n) / (1 - 1/3) = (1/3) * (1 - (1/3)^n) / (2/3) = (1/2) * (1 - (1/3)^n)

2. Нахождение S1:

Для нахождения S1 мы можем использовать производную от суммы геометрической прогрессии. Сначала найдем сумму геометрической прогрессии:

Сумма S = Σ x^k = 1 / (1 - x), при |x| < 1.

Теперь, чтобы найти S1, мы можем взять производную по x и затем умножить на x:

Σ k * x^(k-1) = 1 / (1 - x)^2

Умножив на x, получаем:

Σ k * x^k = x / (1 - x)^2.

Теперь подставим x = 1/3:

S1 = (1/3) / (1 - 1/3)^2 = (1/3) / (2/3)^2 = (1/3) / (4/9) = 3/4.

Теперь мы можем подставить S1 и S2 в формулу для S:

S = S1 - S2 = (3/4) - (1/2) * (1 - (1/3)^n).

Упрощая, получаем:

S = (3/4) - (1/2) + (1/2) * (1/3)^n = (1/4) + (1/2) * (1/3)^n.

Таким образом, конечная сумма S равна:

S = (1/4) + (1/2) * (1/3)^n.