1. Определение стороны АВ треугольника АВС:

Для решения задачи будем использовать теорему косинусов. Она гласит, что в любом треугольнике с сторонами a, b и c и углом C между сторонами a и b выполняется следующее соотношение:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

где c - сторона, противолежащая углу C, a и b - другие две стороны.

1) Условия:

• Сторона BC = 5 (обозначим ее как b).
• Сторона AC = 4 корня из 2 (обозначим ее как a).
• Угол C = 45 градусов.

Теперь подставим известные значения в формулу:

Сначала найдем cos(45°), который равен 1/√2 или √2/2.

Теперь подставим значения:

AB^2 = (4√2)^2 + 5^2 - 2 * (4√2) * 5 * (√2/2).

Раскроем скобки:

• (4√2)^2 = 32,
• 5^2 = 25,
• 2 * (4√2) * 5 * (√2/2) = 20.

Теперь подставим в формулу:

AB^2 = 32 + 25 - 20 = 37.

Следовательно, AB = √37.

2) Условия:

• Сторона BC = B (обозначим как b).
• Сторона AC = 11 (обозначим как a).
• Угол C = 120 градусов.

Теперь подставим известные значения в формулу:

Сначала найдем cos(120°), который равен -1/2.

Теперь подставим значения:

AB^2 = 11^2 + B^2 - 2 * 11 * B * (-1/2).

Раскроем скобки:

• 11^2 = 121,
• -2 * 11 * B * (-1/2) = 11B.

Теперь подставим в формулу:

AB^2 = 121 + B^2 + 11B.

Таким образом, мы получаем выражение для AB в зависимости от B.

2. Вычисление косинусов углов треугольника со сторонами 9, 10 и 15 см:

Для нахождения косинусов углов также воспользуемся теоремой косинусов:

Обозначим стороны:

• a = 9 см,
• b = 10 см,
• c = 15 см.

Теперь найдем косинус угла A (противолежащего стороне a):

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc).

Подставим значения:

cos(A) = (10^2 + 15^2 - 9^2) / (2 * 10 * 15).

Раскроем скобки:

• 10^2 = 100,
• 15^2 = 225,
• 9^2 = 81.

Теперь подставим в формулу:

cos(A) = (100 + 225 - 81) / 300 = 244 / 300 = 0.8133.

Аналогично найдем косинусы углов B и C:

cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac).

Подставляем:

cos(B) = (9^2 + 15^2 - 10^2) / (2 * 9 * 15) = (81 + 225 - 100) / 270 = 206 / 270 = 0.7629.

cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab).

Подставляем:

cos(C) = (9^2 + 10^2 - 15^2) / (2 * 9 * 10) = (81 + 100 - 225) / 180 = -44 / 180 = -0.2444.

3. Нахождение диагоналей параллелограма:

Для нахождения диагоналей параллелограма воспользуемся формулой:

d1^2 + d2^2 = 2(a^2 + b^2),

где d1 и d2 - диагонали, a и b - стороны параллелограма.

Условия:

• a = 7,
• b = 6√2.
• Угол между сторонами равен 45 градусов.

Сначала найдем a^2 и b^2:

• a^2 = 7^2 = 49,
• b^2 = (6√2)^2 = 72.

Теперь подставим в формулу:

d1^2 + d2^2 = 2(49 + 72) = 2 * 121 = 242.

Таким образом, сумма квадратов диагоналей равна 242.

Теперь, чтобы найти каждую диагональ, нужно использовать дополнительные соотношения или информацию о параллелограмме, если она есть. В общем случае, без дополнительной информации, мы можем только сказать, что:

d1^2 + d2^2 = 242.