Как можно упростить следующие выражения из задания 6 на странице 145:

1. a) (a + b)³ - (a - b)³
2. b) (3m - n)³ - (n + 3m)³
3. c) (x + y)³ - 3xy(x + y)
4. d) 3ab(a + b) - (a + b)³
5. e) (a - b)³ + 3ab(a - b)
6. f) (m - n)³ - (m - n)(m² + mn + n²)

Помогите, пожалуйста!

Математика 8 класс Стереометрия и алгебраические выражения упрощение выражений математика 8 класс задания по алгебре кубические выражения формулы сокращенного умножения Новый

Давайте разберем каждое из этих выражений по порядку и упростим их, используя алгебраические формулы и свойства. Я объясню шаги, которые помогут вам понять, как это сделать.

a) (a + b)³ - (a - b)³

• Мы можем использовать формулу разности кубов: x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²).
• В нашем случае x = (a + b), y = (a - b).
• Сначала найдем x - y: (a + b) - (a - b) = 2b.
• Теперь найдем x² + xy + y²:
  • x² = (a + b)² = a² + 2ab + b²,
  • y² = (a - b)² = a² - 2ab + b²,
  • xy = (a + b)(a - b) = a² - b².
• Сложим все: (a² + 2ab + b²) + (a² - b²) + (a² - 2ab + b²) = 3a² + 2b².
• Итак, итоговое выражение: (a + b)³ - (a - b)³ = 2b(3a² + 2b²).

b) (3m - n)³ - (n + 3m)³

• Здесь также применим формулу разности кубов.
• x = (3m - n), y = (n + 3m).
• Вычтем: (3m - n) - (n + 3m) = -2n.
• Теперь найдем x² + xy + y²:
  • x² = (3m - n)² = 9m² - 6mn + n²,
  • y² = (n + 3m)² = n² + 6mn + 9m²,
  • xy = (3m - n)(n + 3m) = 3mn + 9m² - n².
• Сложив, получаем: 9m² - 6mn + n² + n² + 6mn + 9m² + 3mn + 9m² - n² = 27m² + 3n².
• Итак, итоговое выражение: (3m - n)³ - (n + 3m)³ = -2n(27m² + 3n²).

c) (x + y)³ - 3xy(x + y)

• Здесь мы можем использовать формулу разности кубов: (x + y)³ - 3xy(x + y) = (x + y)((x + y)² - 3xy).
• Теперь найдем (x + y)² - 3xy: (x² + 2xy + y²) - 3xy = x² - xy + y².
• Итак, итоговое выражение: (x + y)³ - 3xy(x + y) = (x + y)(x² - xy + y²).

d) 3ab(a + b) - (a + b)³

• Здесь также применим формулу разности: 3ab(a + b) - (a + b)³ = -(a + b)((a + b)² - 3ab).
• Теперь найдем (a + b)² - 3ab: (a² + 2ab + b²) - 3ab = a² - ab + b².
• Итак, итоговое выражение: 3ab(a + b) - (a + b)³ = -(a + b)(a² - ab + b²).

e) (a - b)³ + 3ab(a - b)

• Здесь мы можем использовать формулу суммы: (a - b)³ + 3ab(a - b) = (a - b)((a - b)² + 3ab).
• Теперь найдем (a - b)² + 3ab: (a² - 2ab + b²) + 3ab = a² + ab + b².
• Итак, итоговое выражение: (a - b)³ + 3ab(a - b) = (a - b)(a² + ab + b²).

f) (m - n)³ - (m - n)(m² + mn + n²)

• Здесь также применим формулу разности: (m - n)³ - (m - n)(m² + mn + n²) = (m - n)((m - n)² - (m² + mn + n²)).
• Теперь найдем (m - n)² - (m² + mn + n²): (m² - 2mn + n²) - (m² + mn + n²) = -3mn.
• Итак, итоговое выражение: (m - n)³ - (m - n)(m² + mn + n²) = (m - n)(-3mn).

Таким образом, мы упростили все данные выражения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!