Как можно упростить выражение x³ - y³ и доказать, что оно равно (x - y)(x² + xy + y²)? Также как решить уравнение 2x² + xy + y² = x - y?

Математика 8 класс Факторизация и уравнения Упрощение выражения x³ - y³ доказательство равенства (x - y)(x² + xy + y²) решение уравнения 2x² + xy + y² x - y Новый

Чтобы упростить выражение x³ - y³ и доказать, что оно равно (x - y)(x² + xy + y²), мы воспользуемся формулой разности кубов. Разность кубов двух чисел a и b выражается следующей формулой:

• a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

В нашем случае a = x и b = y. Подставим эти значения в формулу:

x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

Теперь давайте проверим это, разложив правую часть:

1. Умножим (x - y) на (x² + xy + y²):
2. (x - y)(x² + xy + y²) = x(x² + xy + y²) - y(x² + xy + y²)
3. Теперь раскроем скобки:
• x³ + x²y + xy² - (yx² + y²x + y³)
4. Соберем подобные слагаемые:
• x³ - y³ + (x²y - yx²) + (xy² - y²x)
5. Заметим, что x²y - yx² = 0 и xy² - y²x = 0.
6. Таким образом, мы получаем x³ - y³.

Таким образом, мы доказали, что x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²).

Теперь перейдем ко второму вопросу: как решить уравнение 2x² + xy + y² = x - y.

Для решения этого уравнения мы сначала приведем все слагаемые к одной стороне:

2x² + xy + y² - x + y = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно x. Мы можем его записать в стандартной форме:

2x² + (y - 1)x + (y² + y) = 0

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), где a = 2, b = (y - 1), c = (y² + y).

Подставим значения a, b и c:

• b² - 4ac = (y - 1)² - 4 * 2 * (y² + y)
• Это упростится до: (y² - 2y + 1) - 8(y² + y)
• Теперь упростим это выражение:
• y² - 2y + 1 - 8y² - 8y = -7y² - 10y + 1.

Теперь у нас есть дискриминант. Если он больше или равен нулю, уравнение имеет решения:

x = (-(y - 1) ± √(-7y² - 10y + 1)) / 4.

Таким образом, мы получили общее решение для x в зависимости от y. Чтобы найти конкретные значения x, необходимо подставить конкретные значения для y и решить уравнение.