Как можно вычислить периметр правильного 20-угольника, если его площадь равна 16, а площадь круга, вписанного в него, составляет 4π?

Математика 8 класс Геометрия многоугольников периметр 20-угольника площадь правильного 20-угольника вписанный круг вычисление периметра математика 8 класс

Чтобы вычислить периметр правильного 20-угольника, нам нужно использовать данные о его площади и площади вписанного круга. Давайте разберем шаги, которые помогут нам найти периметр.

Шаг 1: Определим радиус вписанного круга

Площадь круга, вписанного в правильный 20-угольник, равна 4π. Мы знаем, что площадь круга вычисляется по формуле:

Площадь = π * r²,

где r – радиус круга. Подставим известные значения:

• 4π = π * r²

Теперь можем сократить π с обеих сторон:

• 4 = r²

Следовательно, извлекая корень, получаем:

• r = 2.

Шаг 2: Найдем длину стороны правильного 20-угольника

Теперь, зная радиус вписанного круга, мы можем использовать его для нахождения длины стороны правильного 20-угольника. В правильном n-угольнике радиус вписанного круга (r) связан с длиной стороны (a) следующим образом:

r = (a / 2) * cot(π / n),

где n - количество сторон (в нашем случае n = 20).

Подставляем известные значения:

• 2 = (a / 2) * cot(π / 20).

Теперь выразим a:

• a = 4 / cot(π / 20).

Шаг 3: Вычислим периметр правильного 20-угольника

Периметр P правильного n-угольника вычисляется по формуле:

P = n * a.

Подставляем значения:

• P = 20 * (4 / cot(π / 20)) = 80 / cot(π / 20).

Шаг 4: Подсчитаем значение

Теперь нам нужно вычислить значение cot(π / 20). Для этого можно воспользоваться тригонометрическими таблицами или калькулятором. После нахождения значения cot(π / 20), подставляем его в формулу для периметра.

Таким образом, мы получим периметр правильного 20-угольника. Если у вас есть доступ к калькулятору, вы можете сделать этот шаг, чтобы получить числовое значение.

Чтобы вычислить периметр правильного 20-угольника, нам нужно использовать данные о его площади и площади вписанного круга.

Шаг 1: Найдем радиус вписанного круга.

Площадь круга, вписанного в 20-угольник, дается формулой:

Площадь = π * R², где R - радиус круга.

Из условия задачи мы знаем, что площадь круга равна 4π. Подставим это в формулу:

4π = π * R².

Теперь делим обе стороны уравнения на π:

4 = R².

Теперь находим радиус R:

R = √4 = 2.

Шаг 2: Найдем сторону 20-угольника.

Для правильного многоугольника, вписанного в круг, длина стороны a может быть найдена по формуле:

a = R * 2 * sin(π/n), где n - количество сторон.

В нашем случае n = 20 и R = 2:

a = 2 * 2 * sin(π/20) = 4 * sin(π/20).

Шаг 3: Найдем периметр 20-угольника.

Периметр P правильного многоугольника вычисляется по формуле:

P = n * a.

Подставим наши значения:

P = 20 * (4 * sin(π/20)) = 80 * sin(π/20).

Шаг 4: Вычислим значение sin(π/20).

Для более точного ответа можно использовать калькулятор:

sin(π/20) ≈ 0.156434.

Теперь подставим это значение в формулу для периметра:

P ≈ 80 * 0.156434 ≈ 12.51472.

Итог:

Периметр правильного 20-угольника приблизительно равен 12.51.