Как найти координаты векторов ac и ac - 2ab для треугольника abc, заданного координатами вершин a(0, 4), b(-3, 5) и c(-1, 3)? Также, как определить острый угол между медианой AМ и стороной AС?

Математика 8 класс Векторы и углы в координатной плоскости координаты векторов векторы ac векторы ac - 2ab треугольник ABC координаты вершин медиана AM острый угол сторона AC математика 8 класс геометрия векторы в треугольнике вычисление координат угол между векторами свойства медиан задачи по математике координатная плоскость Новый

Давайте разберем, как найти координаты векторов AC и AC - 2AB для треугольника ABC, заданного координатами вершин: A(0, 4), B(-3, 5) и C(-1, 3).

Шаг 1: Находим координаты вектора AC.

• Вектор AC можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки C:
• AC = (C.x - A.x; C.y - A.y) = (-1 - 0; 3 - 4) = (-1; -1).

Шаг 2: Находим координаты вектора AB.

• Аналогично, находим вектор AB:
• AB = (B.x - A.x; B.y - A.y) = (-3 - 0; 5 - 4) = (-3; 1).

Шаг 3: Находим вектор 2AB.

• Теперь умножим вектор AB на 2:
• 2AB = (2 * -3; 2 * 1) = (-6; 2).

Шаг 4: Находим координаты вектора AC - 2AB.

• Теперь вычтем вектор 2AB из вектора AC:
• AC - 2AB = (-1; -1) - (-6; 2) = (-1 + 6; -1 - 2) = (5; -3).

Таким образом, мы нашли векторы:

• Вектор AC = (-1; -1),
• Вектор AC - 2AB = (5; -3).

Шаг 5: Находим координаты точки M, середины отрезка BC.

• Координаты точки M можно найти по формуле:
• M.x = (B.x + C.x) / 2 = (-3 + -1) / 2 = -2,
• M.y = (B.y + C.y) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4.

Таким образом, координаты точки M = (-2; 4).

Шаг 6: Находим вектор AM.

• Вектор AM = (M.x - A.x; M.y - A.y) = (-2 - 0; 4 - 4) = (-2; 0).

Шаг 7: Определяем острый угол между векторами AM и AC.

• Для нахождения угла между двумя векторами используем формулу:
• cos(φ) = |Ax * Bx + Ay * By| / (√(Ax² + Ay²) * √(Bx² + By²)),
• где (Ax, Ay) - координаты вектора AM, а (Bx, By) - координаты вектора AC.

Подставляем значения:

• Ax = -2, Ay = 0, Bx = -1, By = -1.
• cos(φ) = |-2 * -1 + 0 * -1| / (√((-2)² + 0²) * √((-1)² + (-1)²)) = |2| / (2 * √2) = 2 / (2√2) = 1 / √2.

Теперь можем найти угол φ:

• φ = arccos(1 / √2), что соответствует углу 45 градусов, который является острым.

В результате мы нашли координаты векторов AC и AC - 2AB, а также определили, что угол между медианой AM и стороной AC является острым.