Как найти площадь области, заключенной между графиками функций y=x^2 и y=2x+8?

Математика 8 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь между графиками функции y=x^2 функции y=2x+8 математика 8 класс интегралы нахождение площади графики функций область между графиками Новый

Чтобы найти площадь области, заключенной между графиками функций y = x^2 и y = 2x + 8, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти точки пересечения графиков.

   Для этого приравняем функции:

   x^2 = 2x + 8.

   Переносим все в одну сторону:

   x^2 - 2x - 8 = 0.

   Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней уравнения:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -8.

   Сначала найдем дискриминант:

   D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.

   Теперь подставим значения в формулу:

   x = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2.

   Таким образом, у нас есть два корня:

   x1 = (2 + 6) / 2 = 4 и x2 = (2 - 6) / 2 = -2.

2. Определить, какая функция выше.

   Для этого можно взять любое значение x между -2 и 4 и подставить его в обе функции. Например, возьмем x = 0:

   y1 = 0^2 = 0 и y2 = 2*0 + 8 = 8.

   Значит, y = 2x + 8 выше y = x^2 на интервале от -2 до 4.

3. Записать интеграл для нахождения площади.

   Площадь области между графиками можно найти с помощью интеграла:

   Площадь = ∫[x1, x2] (верхняя функция - нижняя функция) dx.

   В нашем случае:

   Площадь = ∫[-2, 4] ((2x + 8) - (x^2)) dx.

4. Вычислить интеграл.

   Теперь найдем интеграл:

   ∫[(2x + 8) - x^2] dx = ∫(2x - x^2 + 8) dx.

   Это равняется:

   (x^2 - (1/3)x^3 + 8x) + C.

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   Площадь = [(4^2 - (1/3)(4^3) + 8*4) - ((-2)^2 - (1/3)(-2)^3 + 8*(-2))].

   Считаем:

   Для x = 4: 16 - (1/3)*64 + 32 = 16 - 21.33 + 32 = 26.67.

   Для x = -2: 4 + (8/3) - 16 = 4 + 2.67 - 16 = -9.33.

   Теперь вычтем:

   Площадь = 26.67 - (-9.33) = 36.

Таким образом, площадь области, заключенной между графиками функций y = x^2 и y = 2x + 8, равна 36.