Как определить объем правильной четырехугольной призмы, если известна ее высота 5 дм и площадь полной поверхности 78 дм²?

Математика 8 класс Объем правильной четырехугольной призмы объем правильной четырехугольной призмы высота призмы площадь полной поверхности формула объема призмы задачи по геометрии Новый

Чтобы определить объем правильной четырехугольной призмы, нам нужно знать площадь основания и высоту призмы. В данном случае высота призмы известна и равна 5 дм. Теперь давайте разберемся, как найти площадь основания.

Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание. Площадь полной поверхности призмы состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности. Полная поверхность призмы рассчитывается по формуле:

Площадь полной поверхности = 2 * Площадь основания + Площадь боковой поверхности

Так как основание является квадратом, обозначим сторону квадрата как "a". Тогда площадь основания будет равна:

Площадь основания = a^2

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы рассчитывается как произведение периметра основания на высоту:

Площадь боковой поверхности = Периметр основания * Высота

Периметр квадрата равен:

Периметр = 4 * a

Таким образом, площадь боковой поверхности будет равна:

Площадь боковой поверхности = 4 a h

Теперь подставим все в формулу площади полной поверхности:

78 = 2 a^2 + 4 a * 5

Упростим уравнение:

78 = 2 * a^2 + 20a

Теперь перенесем все в одну сторону:

2 * a^2 + 20a - 78 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Сначала упростим его, разделив все коэффициенты на 2:

a^2 + 10a - 39 = 0

Теперь применим формулу решения квадратного уравнения:

a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = 10, c = -39. Подставим значения:

b^2 - 4ac = 10^2 - 4 1 (-39) = 100 + 156 = 256

Теперь найдём корень из дискриминанта:

√256 = 16

Теперь подставим это значение в формулу:

a = (-10 ± 16) / 2

Решения будут:

a1 = (6) / 2 = 3 (положительное значение, так как длина стороны не может быть отрицательной)
a2 = (-26) / 2 (отрицательное значение, не подходит)

Итак, сторона квадрата равна 3 дм. Теперь мы можем найти площадь основания:

Площадь основания = a^2 = 3^2 = 9 дм²

Теперь можем найти объем призмы по формуле:

Объем = Площадь основания * Высота

Подставим значения:

Объем = 9 дм² * 5 дм = 45 дм³

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы равен 45 дм³.