Чтобы определить объем правильной четырехугольной призмы, нам нужно знать площадь основания и высоту призмы. В данном случае высота призмы известна и равна 5 дм. Теперь давайте разберемся, как найти площадь основания.

Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание. Площадь полной поверхности призмы состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности. Полная поверхность призмы рассчитывается по формуле:

Площадь полной поверхности = 2 * Площадь основания + Площадь боковой поверхности

Так как основание является квадратом, обозначим сторону квадрата как "a". Тогда площадь основания будет равна:

Площадь основания = a^2

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы рассчитывается как произведение периметра основания на высоту:

Площадь боковой поверхности = Периметр основания * Высота

Периметр квадрата равен:

Периметр = 4 * a

Таким образом, площадь боковой поверхности будет равна:

Площадь боковой поверхности = 4 * a * h

Теперь подставим все в формулу площади полной поверхности:

78 = 2 * a^2 + 4 * a * 5

Упростим уравнение:

78 = 2 * a^2 + 20a

Теперь перенесем все в одну сторону:

2 * a^2 + 20a - 78 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Сначала упростим его, разделив все коэффициенты на 2:

a^2 + 10a - 39 = 0

Теперь применим формулу решения квадратного уравнения:

a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = 10, c = -39. Подставим значения:

b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * (-39) = 100 + 156 = 256

Теперь найдём корень из дискриминанта:

√256 = 16

Теперь подставим это значение в формулу:

a = (-10 ± 16) / 2

Решения будут:

a1 = (6) / 2 = 3 (положительное значение, так как длина стороны не может быть отрицательной) a2 = (-26) / 2 (отрицательное значение, не подходит)

Итак, сторона квадрата равна 3 дм. Теперь мы можем найти площадь основания:

Площадь основания = a^2 = 3^2 = 9 дм²

Теперь можем найти объем призмы по формуле:

Объем = Площадь основания * Высота

Подставим значения:

Объем = 9 дм² * 5 дм = 45 дм³

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы равен 45 дм³.