Определение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке является важной темой в математике. Давайте рассмотрим основные шаги и правила, которые помогут вам в этом процессе.

1. Определите функцию и отрезок: Сначала необходимо четко определить функцию, которую вы будете исследовать, а также отрезок, на котором нужно найти экстремумы (например, [a, b]).
2. Найдите производную функции: Вычислите первую производную функции. Это поможет вам определить критические точки, где функция может достигать максимумов или минимумов.
3. Решите уравнение производной: Найдите значения x, для которых производная равна нулю (f'(x) = 0) или не существует. Эти точки могут быть кандидатами на экстремумы.
4. Проверьте границы отрезка: Не забудьте также проверить значения функции на границах отрезка (в точках a и b). Эти значения могут быть наибольшими или наименьшими.
5. Сравните значения: Сравните значения функции в найденных критических точках и на границах отрезка. Наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции, а наименьшее — наименьшим.

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 - 4x на отрезке [0, 5].

1. Находим производную: f'(x) = 2x - 4.
2. Решаем уравнение: 2x - 4 = 0 → x = 2.
3. Проверяем границы: f(0) = 0^2 - 4*0 = 0 и f(5) = 5^2 - 4*5 = 25 - 20 = 5.
4. Находим значение в критической точке: f(2) = 2^2 - 4*2 = 4 - 8 = -4.

Теперь сравниваем значения:

• f(0) = 0
• f(2) = -4
• f(5) = 5

Наибольшее значение функции на отрезке [0, 5] равно 5, а наименьшее — -4.

Следуя этим шагам, вы сможете находить наибольшие и наименьшие значения функций на заданных отрезках с уверенностью!