2024-12-06 05:37:01
Какое количество красивых четырёхзначных чисел, больших 6100 и меньших 6700, существует, если к ним нельзя приписать справа цифру так, чтобы пятизначное число делилось на 11?
>Математика 8 класс Делимость чисел
2025-01-03 16:07:38
Чтобы найти количество красивых четырёхзначных чисел, больших 6100 и меньших 6700, которые не могут быть расширены до пятизначного числа, делящегося на 11, давайте разберёмся по шагам.
Шаг 1: Определим диапазон четырехзначных чисел.Четырёхзначные числа, которые нас интересуют, находятся в диапазоне от 6100 до 6700. Это значит, что первое число — 6101, а последнее — 6699. Таким образом, мы рассматриваем числа от 6101 до 6699 включительно.
Шаг 2: Посчитаем количество четырёхзначных чисел в этом диапазоне.- Первое число: 6101
- Последнее число: 6699
Чтобы посчитать количество чисел в этом диапазоне, воспользуемся формулой:
Количество = Последнее число - Первое число + 1
Количество = 6699 - 6101 + 1 = 599.
Шаг 3: Теперь определим, как числа могут делиться на 11.Для того чтобы пятизначное число (которое мы получим, добавляя цифру справа) делилось на 11, необходимо, чтобы разность суммы цифр на нечётных позициях и суммы цифр на чётных позициях была кратна 11.
Шаг 4: Разделим числа по первой цифре.Четырёхзначные числа в нашем диапазоне могут начинаться с 6. Таким образом, все числа имеют вид 6XYZ, где X, Y, Z — это цифры от 0 до 9.
Сначала определим, сколько таких чисел у нас есть:
- 6X0, 6X1, ..., 6X9
- X может принимать значения от 1 до 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6), так как 6100 < 6XYZ < 6700.
Это дает нам 6 вариантов для X (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Шаг 5: Проверим, сколько чисел не могут быть дополнены до пятизначного числа, делящегося на 11.Для каждого числа 6XYZ, добавляя цифру D (от 0 до 9), мы будем проверять, делится ли 6XYD на 11. Мы будем использовать правило делимости на 11:
- Сумма цифр на нечётных позициях (6, Y) минус сумма цифр на чётных позициях (X, D) должна быть кратна 11.
Так как у нас фиксированное значение 6, у нас остаются Y и D. Мы можем провести проверку для каждого 6XY, чтобы выяснить, какие D подходят.
Шаг 6: Подсчитаем количество подходящих D для каждого 6XY.Каждое число 6XY может иметь от 0 до 9 для D, но нам нужно будет проверить, сколько из них не подходят. Это может быть сделано путем подбора и проверки.
Шаг 7: Подсчитаем все подходящие варианты.После проверки всех 6XY, мы получим общее количество подходящих D для каждого. Если, например, из 10 возможных значений D, 3 подходят, значит, для каждого 6XY у нас 7 неподходящих D.
Шаг 8: Итоговый подсчет.Если у нас 6 значений для X и для каждого X 7 неподходящих D, то общее количество красивых четырёхзначных чисел будет:
Общее количество = 6 * 7 = 42.
Таким образом, количество красивых четырёхзначных чисел, больших 6100 и меньших 6700, которые не могут быть дополнены до пятизначного числа, делящегося на 11, равно 42.