Какое количество натуральных чисел от 1 до 100 имеет ровно четыре натуральных делителя, при этом не менее трех из этих делителей не превышают 10?

Математика 8 класс Делители и кратные числа количество натуральных чисел натуральные делители ровно четыре делителя делители не превышают 10 математика 8 класс Новый

Чтобы найти количество натуральных чисел от 1 до 100, которые имеют ровно четыре натуральных делителя, при этом не менее трех из этих делителей не превышают 10, давайте сначала разберемся, какие числа имеют ровно четыре делителя.

Число имеет ровно четыре делителя в следующих случаях:

• Когда оно представимо в виде p^3, где p - простое число. В этом случае делителями будут 1, p, p^2 и p^3.
• Когда оно представимо в виде p*q, где p и q - разные простые числа. В этом случае делителями будут 1, p, q и p*q.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

1. Числа вида p^3:

Нам нужно найти простые числа p, такие что p^3 ≤ 100.

• p = 2: 2^3 = 8
• p = 3: 3^3 = 27
• p = 5: 5^3 = 125 (не подходит, так как больше 100)

Таким образом, единственным числом в этом случае будет 8. Делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Здесь 3 делителя (1, 2, 4) не превышают 10.

2. Числа вида p*q:

Теперь найдем пары различных простых чисел p и q, произведение которых не превышает 100.

Простые числа, которые не превышают 10: 2, 3, 5, 7.

• 2 * 3 = 6 (делители: 1, 2, 3, 6; 3 делителя ≤ 10)
• 2 * 5 = 10 (делители: 1, 2, 5, 10; 3 делителя ≤ 10)
• 2 * 7 = 14 (делители: 1, 2, 7, 14; 3 делителя ≤ 10)
• 3 * 5 = 15 (делители: 1, 3, 5, 15; 3 делителя ≤ 10)
• 3 * 7 = 21 (делители: 1, 3, 7, 21; 3 делителя ≤ 10)
• 5 * 7 = 35 (делители: 1, 5, 7, 35; 3 делителя ≤ 10)

Теперь подведем итоги:

• Число 8 имеет 4 делителя, 3 из которых ≤ 10.
• Число 6 имеет 4 делителя, 3 из которых ≤ 10.
• Число 10 имеет 4 делителя, 3 из которых ≤ 10.
• Число 14 имеет 4 делителя, 3 из которых ≤ 10.
• Число 15 имеет 4 делителя, 3 из которых ≤ 10.
• Число 21 имеет 4 делителя, 3 из которых ≤ 10.
• Число 35 имеет 4 делителя, 3 из которых ≤ 10.

Таким образом, числа от 1 до 100, которые имеют ровно четыре делителя, при этом не менее трех из этих делителей не превышают 10, это: 6, 8, 10, 14, 15, 21 и 35.

В итоге, количество таких чисел равно 7.