Какое максимальное количество натуральных чисел n, которые Леонид называет гармоничными, могут следовать друг за другом, если у каждого из них ровно 4 положительных делителя: 1, n и ещё 2 числа?

Математика 8 класс Делители и свойства чисел максимальное количество натуральных чисел гармоничные числа 4 положительных делителя числа с делителями задача по математике Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся, что такое число с ровно 4 положительными делителями.

Число n имеет ровно 4 положительных делителя в следующих случаях:

• n = p^3, где p - простое число. В этом случае делителями будут 1, p, p^2 и p^3.
• n = p*q, где p и q - различные простые числа. В этом случае делителями будут 1, p, q и p*q.

Теперь давайте рассмотрим оба случая подробнее.

Случай 1: n = p^3

В этом случае делитель p - простое число, и n будет равно кубу этого простого числа. Например:

• 2^3 = 8 (делители: 1, 2, 4, 8)
• 3^3 = 27 (делители: 1, 3, 9, 27)
• 5^3 = 125 (делители: 1, 5, 25, 125)

Здесь видно, что между такими числами нет последовательности, так как они не образуют ряд гармоничных чисел.

Случай 2: n = p*q

В этом случае n является произведением двух различных простых чисел. Например:

• 2 * 3 = 6 (делители: 1, 2, 3, 6)
• 2 * 5 = 10 (делители: 1, 2, 5, 10)
• 3 * 5 = 15 (делители: 1, 3, 5, 15)

Здесь мы можем заметить, что если мы будем брать разные пары простых чисел, то можем получить последовательность таких чисел.

Теперь давайте определим, сколько натуральных чисел n, которые являются произведением двух различных простых чисел, могут следовать друг за другом. Для этого нужно посмотреть на простые числа:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Например, если взять первые 4 простых числа: 2, 3, 5 и 7, мы можем образовать следующие произведения:

• 2 * 3 = 6
• 2 * 5 = 10
• 2 * 7 = 14
• 3 * 5 = 15
• 3 * 7 = 21
• 5 * 7 = 35

Мы видим, что можно составить несколько различных произведений, и они могут быть расположены в порядке возрастания. Однако, максимальное количество последовательных чисел, у которых ровно 4 делителя, будет зависеть от расстояния между простыми числами.

Таким образом, максимальное количество натуральных чисел n, которые Леонид может назвать гармоничными и которые могут следовать друг за другом, составляет 3. Это связано с тем, что между произведениями двух различных простых чисел есть промежутки, которые не позволяют им быть последовательными.

В итоге, ответ на вопрос: максимальное количество натуральных чисел n, которые могут следовать друг за другом и иметь ровно 4 положительных делителя - это 3.