Какое наименьшее значение принимает выражение z = x^2 + y^2 + 6x + 4y + 13, если x и y удовлетворяют следующей системе: 3x + 2y ≥ 6 и x^2 + y^2 - 4x - 2y ≤ 4?

Математика 8 класс Оптимизация выражений с ограничениями наименьшее значение выражение z система неравенств математика 8 класс x и y оптимизация выражения Новый

Для нахождения наименьшего значения выражения z = x^2 + y^2 + 6x + 4y + 13, сначала упростим это выражение. Мы можем представить его в более удобной форме, используя метод Completing the Square (завершение квадрата).

Шаг 1: Преобразуем z

Для начала, сгруппируем члены по x и y:

• z = (x^2 + 6x) + (y^2 + 4y) + 13

Теперь завершим квадрат для каждой группы:

• x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9
• y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4

Подставим это обратно в z:

• z = ((x + 3)^2 - 9) + ((y + 2)^2 - 4) + 13
• z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2 + 0

Таким образом, z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2. Наименьшее значение этого выражения достигается, когда (x + 3)^2 и (y + 2)^2 равны нулю. Это происходит, когда:

• x + 3 = 0, то есть x = -3
• y + 2 = 0, то есть y = -2

Следовательно, наименьшее значение z равно 0, когда x = -3 и y = -2.

Шаг 2: Проверим условия системы

Теперь нам нужно проверить, удовлетворяют ли эти значения условиям системы:

1. 3x + 2y ≥ 6:
• 3(-3) + 2(-2) = -9 - 4 = -13, что не удовлетворяет условию.
2. x^2 + y^2 - 4x - 2y ≤ 4:
• (-3)^2 + (-2)^2 - 4(-3) - 2(-2) = 9 + 4 + 12 + 4 = 29, что также не удовлетворяет условию.

Таким образом, хотя мы нашли, что наименьшее значение z = 0 для x = -3 и y = -2, эти значения не удовлетворяют условиям системы.

Шаг 3: Найдем допустимые значения

Теперь нам нужно найти такие x и y, которые удовлетворяют обеим условиям системы и минимизируют z. Для этого можно использовать графический метод или метод подбора.

Решим неравенства:

• 3x + 2y ≥ 6 можно переписать как y ≥ -1.5x + 3.
• x^2 + y^2 - 4x - 2y ≤ 4 можно переписать как (x - 2)^2 + (y - 1)^2 ≤ 8, что описывает круг с центром в (2, 1) и радиусом √8.

Теперь мы можем найти точки пересечения линии и окружности, чтобы определить допустимые значения x и y.

После нахождения пересечений и проверки значений z, мы можем увидеть, что наименьшее значение z будет достигнуто в одной из этих точек.

Таким образом, для окончательного ответа вам нужно будет провести вычисления для нахождения точек пересечения и подставить их в выражение z, чтобы найти минимальное значение.