Какое натуральное число n имеет ровно 6 натуральных делителей, при этом сумма двух самых маленьких из них является делителем n, а сумма четырёх самых больших делителей равна 2n?

Математика 8 класс Делители натуральных чисел натуральное число делители сумма делителей математика 8 класс задачи по математике Делимость свойства чисел Новый

Для начала давайте разберемся, какое натуральное число n может иметь ровно 6 натуральных делителей. Существует несколько случаев, когда это возможно:

• n = p^5, где p - простое число.
• n = p^2 * q, где p и q - разные простые числа.

Теперь рассмотрим каждый случай по отдельности.

1. Случай n = p^5:

В этом случае делители числа n будут: 1, p, p^2, p^3, p^4, p^5. Сумма двух самых маленьких делителей равна 1 + p, а сумма четырех самых больших делителей равна p^2 + p^3 + p^4 + p^5. Но заметим, что сумма четырех самых больших делителей не равна 2n, так как:

p^2 + p^3 + p^4 + p^5 = p^2(1 + p + p^2 + p^3) = p^2 * (p^4 - 1) / (p - 1), что не может равняться 2p^5.

Таким образом, этот случай не подходит.

2. Случай n = p^2 * q:

В этом случае делители числа n будут: 1, p, p^2, q, pq, p^2q. Сумма двух самых маленьких делителей равна 1 + p, а сумма четырех самых больших делителей равна p^2 + q + pq + p^2q.

Теперь нам нужно проверить условия:

1. Сумма двух самых маленьких делителей (1 + p) является делителем n.
2. Сумма четырех самых больших делителей (p^2 + q + pq + p^2q) равна 2n.

Проверим первое условие. Число 1 + p является делителем n, если p + 1 делит p^2 * q. Это возможно, если p + 1 делит q.

Теперь проверим второе условие. Подставим n = p^2 * q:

p^2 + q + pq + p^2q = 2(p^2 * q).

Упрощая, получаем:

p^2 + q + pq + p^2q = 2p^2q.

Это уравнение можно упростить, чтобы найти подходящие значения p и q.

Теперь давайте подберем простые числа:

• Пусть p = 2 и q = 3. Тогда n = 2^2 * 3 = 12.
• Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Сумма двух самых маленьких делителей: 1 + 2 = 3 (делитель 12).
• Сумма четырех самых больших делителей: 4 + 6 + 12 + 3 = 25, что не равно 2 * 12 = 24.
• Пробуем другие значения, например, p = 3 и q = 2. Тогда n = 3^2 * 2 = 18.
• Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Сумма двух самых маленьких делителей: 1 + 2 = 3 (делитель 18).
• Сумма четырех самых больших делителей: 6 + 9 + 18 + 3 = 36, что равно 2 * 18 = 36.

Таким образом, n = 18 удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: n = 18.