Какое значение a необходимо выбрать, чтобы площадь нового прямоугольника, полученного при уменьшении большей стороны на a см и увеличении меньшей стороны на a см, была максимальной, если изначальные размеры прямоугольника составляют 3 и 5 см?

Математика 8 класс Оптимизация площади фигуры площадь прямоугольника максимизация площади изменение размеров математика 8 класс задачи на оптимизацию Новый

Для решения задачи, давайте начнем с определения исходных размеров прямоугольника. У нас есть прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см. Мы будем обозначать большую сторону как 5 см, а меньшую как 3 см.

Теперь, согласно условию задачи, мы уменьшаем большую сторону на a см и увеличиваем меньшую сторону на a см. Таким образом, новые размеры прямоугольника будут:

• Большая сторона: 5 - a см
• Меньшая сторона: 3 + a см

Теперь мы можем записать формулу для площади нового прямоугольника (S):

S = (5 - a) * (3 + a)

Теперь раскроем скобки:

S = 5 * 3 + 5 * a - a * 3 - a * a

S = 15 + 5a - 3a - a^2

S = 15 + 2a - a^2

Теперь у нас есть квадратная функция S = -a^2 + 2a + 15. Чтобы найти максимальное значение площади, мы можем использовать формулу для вершины параболы, которая имеет вид:

x = -b / (2a),

где a и b - коэффициенты при a^2 и a соответственно.

В нашем случае:

• a = -1 (коэффициент при a^2)
• b = 2 (коэффициент при a)

Теперь подставим значения в формулу:

a = -2 / (2 * -1) = -2 / -2 = 1

Таким образом, чтобы площадь нового прямоугольника была максимальной, необходимо выбрать значение a равным 1 см.

Теперь проверим, как изменятся размеры прямоугольника при a = 1:

• Большая сторона: 5 - 1 = 4 см
• Меньшая сторона: 3 + 1 = 4 см

Таким образом, новый прямоугольник будет квадратом со сторонами 4 см, а его площадь составит:

S = 4 * 4 = 16 см².

Итак, максимальная площадь нового прямоугольника равна 16 см², и значение a, при котором эта площадь достигается, равно 1 см.