Какова длина катета, который находится напротив острого угла в 30°, если площадь прямоугольного треугольника равна 242 корней из 3?

Математика 8 класс Площадь и свойства прямоугольного треугольника длина катета острый угол 30 градусов площадь прямоугольного треугольника 242 корня из 3 математика 8 класс задачи на треугольники Тригонометрия прямоугольный треугольник вычисление катета геометрия Новый

Для решения задачи найдем длину катета, который находится напротив острого угла в 30°. Для этого воспользуемся известными свойствами прямоугольного треугольника и формулой для вычисления площади треугольника.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен 30°. В таком треугольнике длина катета, противоположного углу в 30°, составляет половину длины гипотенузы. Обозначим длину гипотенузы как c, а длину катета, который мы ищем, как a. Тогда:

• a = c / 2

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

• Площадь = (1/2) * основание * высота

В нашем случае, основание и высота будут равны длинам катетов. Поскольку один из катетов равен a, а другой катет, лежащий напротив угла в 60°, будет равен (c * √3) / 2, мы можем выразить площадь следующим образом:

• Площадь = (1/2) * a * (c * √3) / 2

Подставим значение a = c / 2 в формулу площади:

• Площадь = (1/2) * (c / 2) * (c * √3) / 2 = (c² * √3) / 8

Теперь мы знаем, что площадь равна 242√3. Таким образом, у нас есть уравнение:

• (c² * √3) / 8 = 242√3

Чтобы избавиться от √3, умножим обе стороны уравнения на 8:

• c² = 8 * 242

Посчитаем 8 * 242:

• c² = 1936

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

• c = √1936 = 44

Теперь, зная длину гипотенузы, найдем длину катета a:

• a = c / 2 = 44 / 2 = 22

Таким образом, длина катета, который находится напротив острого угла в 30°, равна 22.