Какова скорость течения реки, при которой время движения самоходной баржи от пристани А до пристани Б и затем от пристани Б до пристани C будет минимальным, если расстояние между пристанями А и Б составляет 49 км, а между Б и C - 25 км, а собственная скорость баржи равна 18 км/ч?

Математика 8 класс Оптимизация скорость течения реки время движения баржи расстояние между пристанями собственная скорость баржи минимальное время движения Новый

Для нахождения скорости течения реки, при которой время движения баржи будет минимальным, воспользуемся следующим подходом:

Обозначим скорость течения реки как v (км/ч). Тогда скорость баржи по течению реки будет равна 18 + v (км/ч), а против течения - 18 - v (км/ч).

Теперь рассчитаем время, необходимое для движения от пристани А до Б и от Б до C:

• Расстояние от А до Б составляет 49 км. Время, затраченное на этот путь, будет:
1. T1 = 49 / (18 + v) (время в пути по течению).
• Расстояние от Б до C составляет 25 км. Время, затраченное на этот путь, будет:
1. T2 = 25 / (18 - v) (время в пути против течения).

Общее время движения T составит:

T = T1 + T2 = 49 / (18 + v) + 25 / (18 - v)

Теперь нам нужно минимизировать это время. Для этого найдем производную функции времени T по переменной v и приравняем ее к нулю:

Сначала найдем общий знаменатель для T:

T = (49 (18 - v) + 25 (18 + v)) / ((18 + v)(18 - v))

Теперь упростим числитель:

49 18 - 49v + 25 18 + 25v = (49 + 25) 18 + (-49 + 25)v = 74 18 - 24v

Таким образом, получаем:

T = (74 * 18 - 24v) / (324 - v^2)

Теперь находим производную T по v и приравниваем к нулю. После этого решаем уравнение для нахождения v, чтобы найти скорость реки, при которой время будет минимальным.

Однако, чтобы упростить задачу, можно воспользоваться методом подбора значений v, так как производная может быть сложной для нахождения.

Проверим несколько значений v:

• v = 0: T = 49 / 18 + 25 / 18 = 4,11 ч
• v = 5: T = 49 / 23 + 25 / 13 = 2,13 ч
• v = 6: T = 49 / 24 + 25 / 12 = 2,04 ч
• v = 7: T = 49 / 25 + 25 / 11 = 2,02 ч
• v = 8: T = 49 / 26 + 25 / 10 = 2,06 ч

Как видно, время минимально при v = 7 км/ч. Таким образом, скорость течения реки, при которой время движения самоходной баржи будет минимальным, составляет:

v = 7 км/ч