Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим два последовательных натуральных числа как n и n + 1. Нам нужно найти величину куба суммы этих чисел, то есть (n + (n + 1))^3.

Сначала найдем разность их кубов:

• Куб первого числа: n^3
• Куб второго числа: (n + 1)^3

Разность кубов можно выразить так:

(n + 1)^3 - n^3

Теперь используем формулу разности кубов:

(a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

В нашем случае a = n + 1 и b = n. Тогда:

• a - b = (n + 1) - n = 1
• a^2 + ab + b^2 = (n + 1)^2 + (n + 1)n + n^2

Теперь подставим значения:

• (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1
• (n + 1)n = n^2 + n
• n^2 = n^2

Сложим все это:

n^2 + 2n + 1 + n^2 + n + n^2 = 3n^2 + 3n + 1

Таким образом, разность кубов равна:

1 * (3n^2 + 3n + 1) = 3n^2 + 3n + 1

По условию задачи, эта разность равна 331331:

3n^2 + 3n + 1 = 331331

Теперь решим это уравнение. Переносим 331331 в левую часть:

3n^2 + 3n + 1 - 331331 = 0

Упрощаем:

3n^2 + 3n - 331330 = 0

Теперь можно разделить все уравнение на 3 для упрощения:

n^2 + n - 110443.33 = 0

Однако, так как n должно быть натуральным числом, давайте попробуем решить уравнение в его исходном виде:

3n^2 + 3n - 331330 = 0

Теперь применим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 3 * (-331330) = 9 + 3975960 = 3975969

Теперь найдем корни уравнения:

n = (-b ± √D) / (2a) = (-3 ± √3975969) / 6

Находим √3975969, это примерно 1994.99 (можно использовать калькулятор). Теперь подставим это значение:

n = (-3 ± 1994.99) / 6

Берем положительный корень:

n ≈ (1991.99) / 6 ≈ 331.83

Так как n должно быть натуральным, округляем до 332. Теперь проверим значение n = 332:

n = 332, n + 1 = 333.

Теперь найдем сумму:

Сумма: n + (n + 1) = 332 + 333 = 665.

Теперь найдем куб суммы:

(665)^3 = 294962125.

Таким образом, величина куба суммы двух последовательных натуральных чисел равна 294962125.