Какова величина куба суммы двух последовательных натуральных чисел, если разность их кубов равна 331331?

Математика 8 класс Разность кубов натуральных чисел величина куба сумма двух последовательных чисел разность кубов натуральные числа задача по математике Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим два последовательных натуральных числа как n и n + 1. Нам нужно найти величину куба суммы этих чисел, то есть (n + (n + 1))^3.

Сначала найдем разность их кубов:

• Куб первого числа: n^3
• Куб второго числа: (n + 1)^3

Разность кубов можно выразить так:

(n + 1)^3 - n^3

Теперь используем формулу разности кубов:

(a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

В нашем случае a = n + 1 и b = n. Тогда:

• a - b = (n + 1) - n = 1
• a^2 + ab + b^2 = (n + 1)^2 + (n + 1)n + n^2

Теперь подставим значения:

• (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1
• (n + 1)n = n^2 + n
• n^2 = n^2

Сложим все это:

n^2 + 2n + 1 + n^2 + n + n^2 = 3n^2 + 3n + 1

Таким образом, разность кубов равна:

1 * (3n^2 + 3n + 1) = 3n^2 + 3n + 1

По условию задачи, эта разность равна 331331:

3n^2 + 3n + 1 = 331331

Теперь решим это уравнение. Переносим 331331 в левую часть:

3n^2 + 3n + 1 - 331331 = 0

Упрощаем:

3n^2 + 3n - 331330 = 0

Теперь можно разделить все уравнение на 3 для упрощения:

n^2 + n - 110443.33 = 0

Однако, так как n должно быть натуральным числом, давайте попробуем решить уравнение в его исходном виде:

3n^2 + 3n - 331330 = 0

Теперь применим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 3 * (-331330) = 9 + 3975960 = 3975969

Теперь найдем корни уравнения:

n = (-b ± √D) / (2a) = (-3 ± √3975969) / 6

Находим √3975969, это примерно 1994.99 (можно использовать калькулятор). Теперь подставим это значение:

n = (-3 ± 1994.99) / 6

Берем положительный корень:

n ≈ (1991.99) / 6 ≈ 331.83

Так как n должно быть натуральным, округляем до 332. Теперь проверим значение n = 332:

n = 332, n + 1 = 333.

Теперь найдем сумму:

Сумма: n + (n + 1) = 332 + 333 = 665.

Теперь найдем куб суммы:

(665)^3 = 294962125.

Таким образом, величина куба суммы двух последовательных натуральных чисел равна 294962125.