• Первое основание (a): 5 см
• Второе основание (b): 11 см

Решим задачу шаг за шагом.

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства трапеции, в которую можно вписать окружность. Если трапеция имеет такую возможность, то сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. Обозначим основания трапеции как a и b, а боковые стороны как c и d. В нашем случае:

• c = 6 см
• d = 10 см

Таким образом, по свойству трапеции, имеющей вписанную окружность, у нас есть следующее уравнение:

a + b = c + d

Подставляем известные значения:

a + b = 6 + 10 = 16 см

Теперь у нас есть одно уравнение:

1) a + b = 16

Следующий шаг – учтем, что средняя линия делит трапецию на части с отношением площадей 5:11. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

m = (a + b) / 2 = 16 / 2 = 8 см

Теперь, если обозначить площади верхней части (с основанием a) как S1, а нижней части (с основанием b) как S2, то:

S1/S2 = 5/11.

Из этого соотношения можно выразить S1 и S2 через одно общее значение:

Пусть S1 = 5k и S2 = 11k для некоторого k. Тогда общая площадь S будет:

S = S1 + S2 = 5k + 11k = 16k.

Так как площади частей зависят от высоты трапеции, можно выразить их через высоту h:

S1 = (a * h) / 2 и S2 = (b * h) / 2.

Теперь мы можем записать:

(a * h) / 2 / ((b * h) / 2) = 5 / 11.

Упрощая, получаем:

a/b = 5/11.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a + b = 16
2. a/b = 5/11

Из второго уравнения выразим a:

a = (5/11) * b.

Подставим это значение в первое уравнение:

(5/11) * b + b = 16.

Объединим подобные слагаемые:

(5/11 + 11/11) * b = 16.

(16/11) * b = 16.

Теперь умножим обе стороны на 11/16:

b = 16 * (11/16) = 11 см.

Теперь найдем a, подставив значение b обратно в первое уравнение:

a + 11 = 16.

Следовательно, a = 16 - 11 = 5 см.

Таким образом, длины оснований трапеции равны:

• Основание a = 5 см
• Основание b = 11 см

Ответ: Длины оснований трапеции: 5 см и 11 см.