Каковы размеры сторон прямоугольника, если его диагональ равна 13, а площадь составляет 60?

Математика 8 класс Прямоугольники и их свойства прямоугольник диагональ площадь размеры сторон задачи по математике 8 класс решение задач геометрия Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать два свойства прямоугольника: его диагональ и площадь. Обозначим стороны прямоугольника как a и b.

Мы знаем, что:

• Диагональ d прямоугольника можно найти по формуле: d = √(a² + b²).
• Площадь S прямоугольника вычисляется как: S = a * b.

В нашем случае:

• Диагональ d = 13.
• Площадь S = 60.

Теперь запишем уравнения:

1. Для диагонали: 13 = √(a² + b²).
2. Для площади: 60 = a * b.

Сначала преобразуем первое уравнение. Возведем обе стороны в квадрат:

13² = a² + b², что дает 169 = a² + b².

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a² + b² = 169.
2. a * b = 60.

Из второго уравнения выразим одну из переменных, например, b:

b = 60 / a.

Теперь подставим это значение b в первое уравнение:

a² + (60 / a)² = 169.

Упростим это уравнение:

a² + 3600 / a² = 169.

Умножим все на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 169a² + 3600 = 0.

Теперь введем новую переменную: x = a². Тогда уравнение примет вид:

x² - 169x + 3600 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-169)² - 4*1*3600 = 28561 - 14400 = 14161.

Теперь найдем корни уравнения:

x = (169 ± √14161) / 2.

Сначала вычислим √14161, это равно 119.

Теперь подставим это значение:

1. x₁ = (169 + 119) / 2 = 144 / 2 = 72.
2. x₂ = (169 - 119) / 2 = 50 / 2 = 25.

Теперь вернемся к переменной a:

a² = 72 или a² = 25.

Следовательно:

• a = √72 = 6√2 (примерно 8.49) и b = 60 / a = 60 / (6√2) = 5√2 (примерно 7.07).
• или
• a = √25 = 5 и b = 60 / a = 60 / 5 = 12.

Таким образом, размеры сторон прямоугольника могут быть:

• 6√2 и 5√2 (примерно 8.49 и 7.07),
• или 5 и 12.

Ответ: размеры сторон прямоугольника могут быть 5 и 12.