Каковы все целые значения n, при которых дробь (19n + 7) / (7n + 11) является целым числом?

Математика 8 класс Делимость и целые числа целые значения n дробь (19n + 7) / (7n + 11) целое число математика 8 класс решение уравнения Новый

Чтобы найти все целые значения n, при которых дробь (19n + 7) / (7n + 11) является целым числом, мы начнем с условия, что дробь должна быть целым числом. Это означает, что числитель (19n + 7) должен делиться нацело на знаменатель (7n + 11).

Запишем это условие в виде неравенства:

19n + 7 = k(7n + 11)

где k - целое число. Раскроем скобки:

19n + 7 = 7kn + 11k

Теперь соберем все n в одной части уравнения:

19n - 7kn = 11k - 7

Выделим n:

n(19 - 7k) = 11k - 7

Теперь выразим n:

n = (11k - 7) / (19 - 7k)

Теперь необходимо, чтобы дробь (11k - 7) / (19 - 7k) была целым числом. Это означает, что (11k - 7) должно делиться на (19 - 7k) нацело. Для этого мы рассмотрим возможные значения k.

Теперь найдем целые значения k, при которых знаменатель не равен нулю:

19 - 7k ≠ 0

Это означает:

k ≠ 19/7

Теперь подберем различные целые значения k и найдем соответствующие значения n:

• k = 0: n = (11*0 - 7) / (19 - 7*0) = -7 / 19 (не целое)
• k = 1: n = (11*1 - 7) / (19 - 7*1) = 4 / 12 = 1/3 (не целое)
• k = 2: n = (11*2 - 7) / (19 - 7*2) = 15 / 5 = 3 (целое)
• k = 3: n = (11*3 - 7) / (19 - 7*3) = 26 / -2 = -13 (целое)
• k = 4: n = (11*4 - 7) / (19 - 7*4) = 37 / -11 (не целое)
• k = -1: n = (11*(-1) - 7) / (19 - 7*(-1)) = -18 / 26 = -9/13 (не целое)
• k = -2: n = (11*(-2) - 7) / (19 - 7*(-2)) = -29 / 33 (не целое)

Таким образом, мы нашли два целых значения n:

• n = 3
• n = -13

Следовательно, все целые значения n, при которых дробь (19n + 7) / (7n + 11) является целым числом, это:

n = 3 и n = -13