2025-02-19 13:13:10
Можно ли утверждать, что последовательность (x)n ограничена, если известно, что все её элементы находятся в объединении интервалов (-1; 2) и (3; 11)? Пожалуйста, обоснуйте свой ответ.
Математика 8 класс Ограниченные и неограниченные последовательности последовательность ограниченность элементы интервалы математический анализ объединение интервалов доказательство свойства последовательностей
2025-02-19 13:13:19
Чтобы ответить на вопрос о том, ограничена ли последовательность (x)n, нужно рассмотреть, что значит "ограниченная последовательность". Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех n выполняется неравенство |x_n| < M.
В данном случае нам даны два интервала: (-1; 2) и (3; 11). Это означает, что все элементы последовательности (x)n находятся в пределах этих интервалов.
- Первый интервал (-1; 2) включает все числа, которые больше -1 и меньше 2.
- Второй интервал (3; 11) включает все числа, которые больше 3 и меньше 11.
Теперь давайте посмотрим, какие значения могут принимать элементы последовательности (x)n:
- Элементы из первого интервала могут принимать значения от -1 до 2, но не включая -1 и 2.
- Элементы из второго интервала могут принимать значения от 3 до 11, но не включая 3 и 11.
Теперь мы можем определить границы для всех элементов последовательности:
- Наименьшее значение из первого интервала: -1 (не включая).
- Наибольшее значение из второго интервала: 11 (не включая).
Таким образом, все элементы последовательности (x)n находятся в пределах от -1 до 11, но не включая эти границы. Это означает, что:
- Последовательность ограничена сверху числом 11.
- Последовательность ограничена снизу числом -1.
Следовательно, можно утверждать, что последовательность (x)n ограничена.
Ответ: Да, последовательность (x)n ограничена, так как все её элементы находятся в пределах от -1 до 11.
