На доске написана последовательность из девяти чисел: 100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Ваня хочет расставить между ними восемь арифметических знаков, каждый из которых может быть либо плюсом, либо минусом (необязательно использовать оба знака). После этого он собирается вычислить значение получившегося выражения. Сколько различных значений он может получить?

Математика 8 класс Комбинаторика и арифметические выражения последовательность чисел арифметические знаки плюсы и минусы вычисление выражения различные значения 8 класс математика Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно рассмотрим последовательность чисел и возможные операции между ними.

У нас есть последовательность из девяти чисел: 100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Ваня должен расставить восемь знаков между ними, и каждый знак может быть либо плюсом (+), либо минусом (-).

Мы можем рассмотреть все возможные комбинации знаков и как они влияют на итоговое значение выражения. Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом:

1. Количество знаков: У нас есть 8 знаков, и каждый из них может принимать 2 значения (плюс или минус). Это значит, что общее количество возможных комбинаций знаков составляет 2 в степени 8, то есть 256.
2. Влияние знаков на сумму: Каждый знак будет либо добавлять, либо вычитать соответствующее число. Если мы обозначим сумму всех чисел без знаков как S, то S = 100 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 136.
3. Разделение на положительные и отрицательные части: Пусть x - это сумма чисел, перед которыми стоит знак «минус». Тогда итоговое значение выражения можно записать как:

   Итог = S - 2x,

   где x - сумма чисел, перед которыми стоит знак «минус».

4. Возможные значения x: Значение x может принимать различные значения в зависимости от того, какие числа мы выберем для вычитания. Минимальное значение x будет 0 (если все числа положительные), а максимальное значение x будет 100 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 136 (если все числа со знаком «минус»).
5. Возможные значения итогового выражения: Поскольку x может принимать значения от 0 до 136, итоговое значение будет варьироваться от 136 (если x = 0) до -20 (если x = 136). Таким образом, итоговое значение может принимать значения от -20 до 136.
6. Количество различных значений: Теперь нам нужно определить, сколько различных значений может принять итоговое выражение. Это будет диапазон от -20 до 136, включая оба конца. Чтобы посчитать количество целых чисел в этом диапазоне, мы используем формулу:

   Количество значений = (максимальное значение - минимальное значение) + 1 = (136 - (-20)) + 1 = 136 + 20 + 1 = 157.

Таким образом, Ваня может получить 157 различных значений в результате расстановки арифметических знаков между числами.