Давайте разберем данное утверждение шаг за шагом. У нас есть две дроби:

• Первая дробь: a/b
• Вторая дробь: c/d

Условия задачи гласят, что:

• Дроби a/b и c/d не равны;
• Каждая из дробей меньше 1, то есть a < b и c < d.

Наша цель - показать, что мы можем увеличить один из числителей (либо a, либо c) на некоторое натуральное число k, так чтобы сумма новых дробей была меньше 1. Рассмотрим два случая.

После увеличения мы получаем новую дробь:

• (a + k)/b

Теперь нам нужно определить сумму новых дробей:

• Сумма: (a + k)/b + c/d.

Чтобы эта сумма была меньше 1, необходимо, чтобы:

• (a + k)/b + c/d < 1.

Преобразуем неравенство:

• (a + k)/b < 1 - c/d.

Теперь найдем 1 - c/d:

• 1 - c/d = (d - c)/d.

Теперь подставим это в неравенство:

• (a + k)/b < (d - c)/d.

Умножим обе части на bd (положительное число) для удобства:

• (a + k)d < (d - c)b.

Теперь, если мы выберем k достаточно большим, то неравенство будет выполняться, так как левая часть будет расти, а правая остается фиксированной.

Аналогично, если мы увеличим c на k, то получим новую дробь:

• a/b + (c + k)/d.

Аналогично, чтобы эта сумма была меньше 1, мы можем провести те же преобразования:

• a/b + (c + k)/d < 1.

И, следуя тому же принципу, если k будет достаточно большим, то неравенство будет выполняться.

Таким образом, в обоих случаях мы можем увеличить один из числителей на достаточно большое натуральное число k, чтобы сумма дробей оставалась меньше 1.

В заключение, мы доказали, что можно увеличить один из числителей так, чтобы сумма дробей была меньше 1.