Найдите все натуральные значения a, при которых выполняется условие НОД(a; 45) = a/5.

Математика 8 класс Непрерывные дроби и делимость математика 8 класс НОД натуральные значения уравнение решение задач Делимость дроби свойства НОД Новый

Для решения задачи начнем с определения, что такое НОД (наибольший общий делитель). Мы ищем такие натуральные значения a, при которых НОД(a; 45) = a/5.

Давайте обозначим НОД(a; 45) как d. Тогда у нас есть равенство:

d = a / 5

Из этого равенства мы можем выразить a:

a = 5d

Теперь подставим a в выражение для НОД:

НОД(5d; 45) = d

Теперь давайте разберемся, как можно найти НОД(5d; 45). Для этого сначала разложим 45 на простые множители:

45 = 3^2 * 5

Теперь рассмотрим 5d. Поскольку d является делителем 45, d может принимать значения, которые являются делителями 45. Найдем все делители 45:

• 1
• 3
• 5
• 9
• 15
• 45

Теперь проверим, какие из этих делителей удовлетворяют условию НОД(5d; 45) = d.

1. Для d = 1:
• 5d = 5
• НОД(5; 45) = 5, не равно 1.
2. Для d = 3:
• 5d = 15
• НОД(15; 45) = 15, не равно 3.
3. Для d = 5:
• 5d = 25
• НОД(25; 45) = 5, равно 5.
4. Для d = 9:
• 5d = 45
• НОД(45; 45) = 45, не равно 9.
5. Для d = 15:
• 5d = 75
• НОД(75; 45) = 15, равно 15.
6. Для d = 45:
• 5d = 225
• НОД(225; 45) = 45, равно 45.

Теперь мы видим, что условия выполняются для d = 5, d = 15 и d = 45. Теперь найдем соответствующие значения a:

• Если d = 5, то a = 5 * 5 = 25.
• Если d = 15, то a = 5 * 15 = 75.
• Если d = 45, то a = 5 * 45 = 225.

Таким образом, все натуральные значения a, при которых выполняется условие НОД(a; 45) = a/5, это:

• 25
• 75
• 225