Не выполняя деления многочленов, как можно найти остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), если P(x) = x^5 - 2x^4 + x^3 + x - 2, а Q(x) = x^2 - 4?

Математика 8 класс Остаток от деления многочлена остаток от деления многочлены p(x) Q(x) математика 8 класс деление многочленов нахождение остатка алгебра полиномы Новый

Чтобы найти остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x) без выполнения деления, мы можем воспользоваться теоремой о остатке. Эта теорема утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x) можно найти, подставив корни многочлена Q(x) в P(x).

В данном случае у нас есть:

• P(x) = x^5 - 2x^4 + x^3 + x - 2
• Q(x) = x^2 - 4

Сначала найдем корни многочлена Q(x). Многочлен Q(x) можно разложить на множители:

Q(x) = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).

Таким образом, корнями многочлена Q(x) являются:

• x1 = 2
• x2 = -2

Теперь мы подставим эти корни в многочлен P(x) и найдем значения:

1. Подставим x1 = 2:
• P(2) = 2^5 - 2 * 2^4 + 2^3 + 2 - 2
• P(2) = 32 - 32 + 8 + 2 - 2 = 8.
2. Подставим x2 = -2:
• P(-2) = (-2)^5 - 2 * (-2)^4 + (-2)^3 + (-2) - 2
• P(-2) = -32 - 32 - 8 - 2 - 2 = -76.

Теперь мы получили два значения:

• P(2) = 8
• P(-2) = -76

Остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x) будет представлять собой многочлен первой степени, который можно записать в виде R(x) = ax + b, где a и b - некоторые коэффициенты.

Чтобы найти коэффициенты a и b, мы можем использовать значения P(2) и P(-2):

Поскольку R(2) = 8 и R(-2) = -76, мы можем составить систему уравнений:

1. 2a + b = 8
2. -2a + b = -76

Теперь решим эту систему:

1. Из первого уравнения выразим b:
• b = 8 - 2a.
2. Подставим b во второе уравнение:
• -2a + (8 - 2a) = -76.
• -4a + 8 = -76.
• -4a = -76 - 8.
• -4a = -84.
• a = 21.
3. Теперь подставим a обратно в первое уравнение, чтобы найти b:
• b = 8 - 2 * 21 = 8 - 42 = -34.

Таким образом, остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x) равен:

R(x) = 21x - 34.

Это и есть остаток от деления P(x) на Q(x).