Ненулевые числа a и b удовлетворяют следующим условиям: 6a + 6b = 25 и 25/a + 25/b = 25. Какое значение может принимать выражение a/b + b/a?

Математика 8 класс Системы линейных уравнений и дробно-рациональные выражения математика 8 класс ненулевые числа уравнения 6a + 6b = 25 25/a + 25/b = 25 a/b + b/a решение задач алгебра системы уравнений выражения значение выражения Новый

Давайте решим данную систему уравнений:

• 6a + 6b = 25
• 25/a + 25/b = 25

Первым шагом упростим оба уравнения. Начнем с первого уравнения. Мы можем разделить его на 6:

• a + b = 25/6

Теперь упростим второе уравнение. Разделим его на 25:

• 1/a + 1/b = 1

Теперь у нас есть два уравнения:

• a + b = 25/6
• 1/a + 1/b = 1

Второе уравнение можно переписать в виде:

• (a + b)/(ab) = 1

Из этого уравнения мы можем выразить ab:

• ab = a + b = 25/6.

Теперь у нас есть два равенства:

• a + b = 25/6
• ab = 25/6.

Из равенства a + b = ab мы можем выразить b через a:

• b(a - 1) = a, что означает b = a/(a - 1).

Теперь подставим b в первое уравнение:

• a + a/(a - 1) = 25/6.

Умножим всё уравнение на 6(a - 1), чтобы избавиться от дробей:

• 6a(a - 1) + 6a = 25(a - 1).

Раскроем скобки:

• 6a^2 - 6a + 6a = 25a - 25.

Соберем все члены с одной стороны:

• 6a^2 - 25a + 25 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = 25^2 - 4*6*25 = 625 - 600 = 25, что дает корни.

Находим корни уравнения:

• a1 = (25 - 5)/12 = 20/12 = 5/3;
• a2 = (25 + 5)/12 = 30/12 = 5/2.

Теперь найдем соответствующие значения b:

• Для a1 = 5/3: b1 = 25/6 - 5/3 = 15/6 = 5/2;
• Для a2 = 5/2: b2 = 25/6 - 5/2 = 10/6 = 5/3.

Таким образом, мы получили пары чисел (a, b): (5/3, 5/2) и (5/2, 5/3).

Теперь можем вычислить значение выражения a/b + b/a:

• a/b + b/a = (5/2)/(5/3) + (5/3)/(5/2) = (5/2 * 3/5) + (5/3 * 2/5).

Упростим это выражение:

• 3/2 + 2/3 = 13/6.

Таким образом, значение выражения a/b + b/a равно 13/6.