Давайте докажем, что выражение 5n^2 + 10 не может быть квадратом натурального числа для любого натурального n. Для этого рассмотрим следующее:

1. Приведем выражение к более удобному виду:

Мы можем вынести 5 за скобки:

5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2).

2. Обозначим выражение:

Пусть m^2 - это квадрат натурального числа, тогда:

5(n^2 + 2) = m^2.

3. Проверим, какие остатки могут быть у квадратов натуральных чисел:

Квадраты натуральных чисел (то есть m^2) могут давать следующие остатки при делении на 5:

• 0 (если m делится на 5)
• 1 (если m оставляет остаток 1 или 4 при делении на 5)
• 4 (если m оставляет остаток 2 или 3 при делении на 5)
4. Теперь рассмотрим 5(n^2 + 2):

Поскольку 5(n^2 + 2) - это произведение 5 на (n^2 + 2), то оно будет делиться на 5 и, следовательно, m^2 также должно делиться на 5.

Это означает, что m должно оставлять остаток 0 при делении на 5, то есть m = 5k для некоторого натурального k.

5. Подставим m = 5k в уравнение:

Мы получаем:

5(n^2 + 2) = (5k)^2 = 25k^2.

Сократим обе стороны на 5:

n^2 + 2 = 5k^2.

6. Теперь рассмотрим выражение n^2 + 2:

Поскольку n^2 - это квадрат натурального числа, то n^2 может принимать значения 0, 1, 4, 9, 16 и так далее. Рассмотрим остатки этих значений при делении на 5:

• 0 (если n делится на 5)
• 1 (если n оставляет остаток 1 или 4 при делении на 5)
• 4 (если n оставляет остаток 2 или 3 при делении на 5)

Таким образом, n^2 + 2 может давать следующие остатки при делении на 5:

• 2 (если n^2 = 0)
• 3 (если n^2 = 1)
• 1 (если n^2 = 4)
7. Сравним:

Согласно уравнению n^2 + 2 = 5k^2, правая часть (5k^2) делится на 5, а левая (n^2 + 2) может давать остатки 1, 2 или 3 при делении на 5.

Таким образом, n^2 + 2 не может равняться 5k^2, потому что у них разные остатки.

Следовательно, мы пришли к выводу, что выражение 5n^2 + 10 не может быть квадратом натурального числа для любого натурального n. Это и доказывает нашу гипотезу.