Помогите, пожалуйста:
Как найти значение а, если а = 4 * 3 в степени m + 2, b = 12 в степени m
и нод(а, b) = 108?

Математика 8 класс Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) и работа с степенями значение а а = 4 * 3 в степени m + 2 b = 12 в степени m нод(а b) = 108 нахождение а математические задачи алгебра 8 класс решение уравнений Новый

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

У нас есть два выражения:

• а = 4 * 3^(m + 2)
• b = 12^m

Также нам известно, что нод(а, b) = 108. Это означает, что наибольший общий делитель чисел а и b равен 108.

Первым делом, давайте упростим выражения для а и b:

1. Упрощаем а:

• 4 можно записать как 2^2, поэтому:
• а = 2^2 * 3^(m + 2) = 2^2 * 3^m * 3^2 = 2^2 * 3^m * 9.

2. Упрощаем b:

• 12 можно разложить на простые множители: 12 = 2^2 * 3^1, поэтому:
• b = (2^2 * 3^1)^m = 2^(2m) * 3^m.

Теперь у нас есть:

• а = 2^2 * 3^m * 9 = 2^2 * 3^m * 3^2 = 2^2 * 3^(m + 2)
• b = 2^(2m) * 3^m.

Теперь мы можем найти нод(а, b). Для этого используем правило: нод(x^a, y^b) = x^min(a, b) * y^min(c, d), где x и y - простые множители, а a, b, c, d - их степени в разложении.

В нашем случае:

• Для множителя 2: в а степень 2, в b степень 2m. Следовательно, min(2, 2m) = 2, если 2m >= 2, то m >= 1.
• Для множителя 3: в а степень (m + 2), в b степень m. Следовательно, min(m + 2, m) = m, если m >= 0.

Таким образом, мы можем записать:

нод(а, b) = 2^2 * 3^m.

Теперь приравняем это к 108:

108 = 2^2 * 3^3,

где 2^2 соответствует 4, а 3^3 соответствует 27.

Сравнив степени, мы получаем:

• 2 = 2 (это верно),
• m = 3.

Теперь мы можем найти значение a:

Подставим m = 3 в выражение для а:

а = 4 * 3^(3 + 2) = 4 * 3^5 = 4 * 243 = 972.

Таким образом, значение а равно 972.