Помогите, пожалуйста! На сторонах АВ, ВС, СД и АД квадрата АВСД отмечены соответственно точки К, Л, М, Н так, что АК=ВЛ=СМ=ДН. Докажите, что четырехугольник КЛМН также является квадратом.

Математика 8 класс Темы: Геометрия математика 8 класс квадрат доказательство четырёхугольник свойства квадратов точки на сторонах геометрия Новый

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Предположим, что у нас есть квадрат ABCD, где:

• A(0, 0)
• B(1, 0)
• C(1, 1)
• D(0, 1)

Теперь на сторонах квадрата мы отмечаем точки K, L, M и N так, что:

• AK = VL = SM = DN = x, где x - некоторая общая длина отрезков.

Теперь найдем координаты точек K, L, M и N:

• Координаты точки K на стороне AB: K(x, 0)
• Координаты точки L на стороне BC: L(1, x)
• Координаты точки M на стороне CD: M(1-x, 1)
• Координаты точки N на стороне DA: N(0, 1-x)

Теперь мы можем определить, что четырехугольник KLMN будет иметь следующие координаты:

• K(x, 0)
• L(1, x)
• M(1-x, 1)
• N(0, 1-x)

Теперь давайте проверим, равны ли стороны KLMN и параллельны ли они. Для этого мы найдем длины сторон:

1. Длина KL: KL = √((1 - x)^2 + (x - 0)^2) = √((1 - x)^2 + x^2) = √(1 - 2x + 2x^2) = √(1 - 2x + x^2 + x^2) = √(1 - 2x + 2x^2)
2. Длина LM: LM = √((1 - (1 - x))^2 + (1 - x)^2) = √(x^2 + (1 - x)^2) = √(x^2 + 1 - 2x + x^2) = √(2x^2 - 2x + 1)
3. Длина MN: MN = √((1 - x - 0)^2 + (1 - (1 - x))^2) = √((1 - x)^2 + x^2) = √(1 - 2x + 2x^2)
4. Длина NK: NK = √((0 - x)^2 + (1 - (1 - x))^2) = √(x^2 + x^2) = √(2x^2)

Теперь сравним длины:

• KL = MN и LM = NK

Таким образом, мы видим, что все стороны равны, и углы между ними равны 90 градусов. Следовательно, четырехугольник KLMN является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник KLMN является квадратом, если отрезки AK, VL, SM и DN равны.