Помогите решить (с объяснением) задачу: DM - биссектриса угла прямоугольника ABCD, точка M находится на стороне BC. Как найти сторону AD, если периметр прямоугольника равен 48 см, а отрезок BM равен 4 см?

Математика 8 класс Биссектрисы и периметр фигур математика 8 класс задача на биссектрису периметр прямоугольника решение задач по геометрии угол прямоугольника сторона AD отрезок BM объяснение решения задачи Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Определим обозначения:

• Пусть сторона AB (или CD) равна a см.
• Пусть сторона AD (или BC) равна b см.

2. Используем информацию о периметре прямоугольника:

Периметр P прямоугольника можно выразить через его стороны:

P = 2(a + b).

По условию задачи, периметр равен 48 см. Значит:

2(a + b) = 48.

Разделим обе стороны уравнения на 2:

a + b = 24.

3. Используем информацию о отрезке BM:

По условию, BM = 4 см. Поскольку M находится на стороне BC, то BM - это часть стороны BC. Таким образом, BM = b - y, где y - это длина отрезка MC.

Так как DM - биссектриса угла BMC, то по свойству биссектрисы мы знаем, что:

BM / MC = AB / AD = a / b.

Подставим BM = 4 см:

4 / y = a / b.

4. Выразим y через a и b:

Теперь выразим y:

y = (4b) / a.

5. Подставим y в выражение для b:

Мы знаем, что b = 24 - a. Подставим это значение в y:

y = (4(24 - a)) / a = (96 - 4a) / a.

6. Теперь выразим MC:

MC = b - y = (24 - a) - (96 - 4a) / a.

Упростим это выражение:

MC = (24 - a) - (96 / a - 4).

MC = 24 - a - 96/a + 4 = 28 - a - 96/a.

7. Теперь мы можем решить уравнение:

Используя свойства прямоугольника и биссектрисы, мы можем составить уравнение:

4 / (28 - a - 96/a) = a / (24 - a).

8. Решим это уравнение:

Умножим обе стороны на (28 - a - 96/a)(24 - a):

4(24 - a) = a(28 - a - 96/a).

Раскроем скобки и приведем подобные:

96 - 4a = 28a - a^2 - 96.

Соберем все в одну сторону:

a^2 - 32a + 192 = 0.

9. Решим квадратное уравнение:

Теперь используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4*1*192 = 1024 - 768 = 256.

Корни уравнения:

a = (32 ± √256) / 2 = (32 ± 16) / 2.

Таким образом, a1 = 24 см, a2 = 8 см.

10. Теперь найдем b:

• Если a = 24, то b = 0 (не подходит).
• Если a = 8, то b = 24 - 8 = 16 см.

Таким образом, сторона AD (или BC) равна 16 см.

Ответ: Сторона AD равна 16 см.