При каком значении q сумма кубов корней уравнения x^2 - x - q = 0 равна 19?

Математика 8 класс Суммы и произведения корней уравнения сумма кубов корней уравнение x^2 - x - q = 0 значение q математика 8 класс корни уравнения Новый

Чтобы решить задачу, начнем с уравнения:

x² - x - q = 0

Сначала найдем корни этого уравнения. По формуле корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = -1, c = -q. Подставляем значения:

x = (1 ± √(1² - 4 * 1 * (-q))) / (2 * 1)

Упрощаем подкоренное выражение:

x = (1 ± √(1 + 4q)) / 2

Обозначим корни как:

x₁ = (1 + √(1 + 4q)) / 2

x₂ = (1 - √(1 + 4q)) / 2

Теперь найдем сумму кубов корней:

S = x₁³ + x₂³

Существует формула для суммы кубов, которая гласит:

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² - x₁x₂ + x₂²)

Сначала найдем сумму корней:

x₁ + x₂ = -b/a = 1

Теперь найдем произведение корней:

x₁x₂ = c/a = -q

Теперь найдем x₁² + x₂²:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 1² - 2(-q) = 1 + 2q

Теперь подставим все в формулу для суммы кубов:

S = (x₁ + x₂)((x₁² + x₂²) - x₁x₂) = 1((1 + 2q) - (-q)) = 1(1 + 2q + q) = 1 + 3q

Теперь нам известно, что сумма кубов корней равна 19:

1 + 3q = 19

Решим это уравнение для q:

1. Вычтем 1 из обеих сторон:
2. 3q = 19 - 1
3. 3q = 18
4. Теперь разделим обе стороны на 3:
5. q = 18 / 3
6. q = 6

Таким образом, значение q, при котором сумма кубов корней уравнения равна 19, равно 6.