С применением теоремы Виета определите корни следующих уравнений:

1. x^2-7x+1=0
2. x^2+x+4=0
3. x^2-3=0
4. 2x^2-5x-1=0
5. 7x^2-x=0

Математика 8 класс Теорема Виета и решение квадратных уравнений теорема Виета корни уравнений математика 8 класс Квадратные уравнения решение уравнений Новый

Давайте решим каждое из уравнений с использованием теоремы Виета. Теорема Виета утверждает, что для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, если α и β - корни этого уравнения, то:

• α + β = -b/a
• α * β = c/a

Теперь рассмотрим каждое уравнение по порядку.

1. Уравнение 1: x^2 - 7x + 1 = 0

   Здесь a = 1, b = -7, c = 1.

   По теореме Виета:

   • α + β = 7
   • α * β = 1

   Теперь мы ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно 1. Это числа 1 и 6. Таким образом, корни уравнения:

   α = 6, β = 1
2. Уравнение 2: x^2 + x + 4 = 0

   Здесь a = 1, b = 1, c = 4.

   По теореме Виета:

   • α + β = -1
   • α * β = 4

   Сумма корней должна быть -1, а произведение 4. Однако такие числа не существуют в действительных числах, так как сумма двух положительных чисел не может быть отрицательной. Таким образом, у этого уравнения нет действительных корней.

3. Уравнение 3: x^2 - 3 = 0

   Здесь a = 1, b = 0, c = -3.

   По теореме Виета:

   • α + β = 0
   • α * β = -3

   Сумма корней равна 0, значит, корни равны по модулю, но противоположны по знаку. Это числа √3 и -√3. Таким образом, корни уравнения:

   α = √3, β = -√3
4. Уравнение 4: 2x^2 - 5x - 1 = 0

   Здесь a = 2, b = -5, c = -1.

   По теореме Виета:

   • α + β = 5/2
   • α * β = -1/2

   Найдем такие числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это могут быть 1 и -1/2. Таким образом, корни уравнения:

   α = 1, β = -1/2
5. Уравнение 5: 7x^2 - x = 0

   Здесь a = 7, b = -1, c = 0.

   По теореме Виета:

   • α + β = 1/7
   • α * β = 0

   Произведение корней равно 0, значит, один из корней равен 0. Второй корень можно найти, подставив α = 0 в уравнение:

   β = 1/7

Итак, подводя итоги, корни уравнений:

• x^2 - 7x + 1 = 0: α = 6, β = 1
• x^2 + x + 4 = 0: нет действительных корней
• x^2 - 3 = 0: α = √3, β = -√3
• 2x^2 - 5x - 1 = 0: α = 1, β = -1/2
• 7x^2 - x = 0: α = 0, β = 1/7