Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с тем, как дни недели смещаются из года в год и что значит, когда 1 января совпадает с тем же днем недели, что и 31 декабря.

Шаг 1: Определение смещения дней недели.

• Каждый обычный год смещает день недели на 1 день вперед, так как 365 дней делятся на 7 с остатком 1.
• Каждый високосный год смещает день недели на 2 дня вперед, так как 366 дней делятся на 7 с остатком 2.

Шаг 2: Определение високосных годов в 21 столетии.

• Високосные годы — это те, которые делятся на 4, но не делятся на 100, за исключением годов, которые делятся на 400.
• Таким образом, в 21 столетии (2001-2100) високосные годы будут: 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 2024, 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068, 2072, 2076, 2080, 2084, 2088, 2092, 2096.

Шаг 3: Подсчет смещения дней недели с 2001 по 2100 год.

• С 2001 по 2100 у нас 100 лет, из которых 24 года — високосные (как мы посчитали выше).
• Смещение дней недели за 100 лет: 76 обычных годов + 24 високосных годов = 76 * 1 + 24 * 2 = 76 + 48 = 124 дня.

Шаг 4: Определение остатка от деления на 7.

• Теперь найдем, сколько дней остается после деления на 7: 124 % 7 = 5.

Шаг 5: Определение условий для совпадения 1 января и 31 декабря.

• Чтобы 1 января и 31 декабря совпадали по дню недели, смещение должно быть равно 0. Это значит, что количество дней, прошедших с 1 января, должно быть кратным 7.
• Таким образом, нам нужно, чтобы 5 дней смещения не приводили к совпадению.

Шаг 6: Подсчет лет, когда 1 января совпадает с 31 декабря.

• Сравниваем 1 января 2001 года с 31 декабря 2100 года: 1 января 2001 года — это понедельник.
• С 2001 года по 2100 год 1 января совпадет с 31 декабря в те годы, когда смещение будет кратно 7.
• Поэтому, если 1 января 2100 года — это суббота, то 31 декабря 2100 года — это также суббота.

Ответ: Таким образом, 1 января совпадает с 31 декабря в 2100 году, и это единственный год в 21 столетии, когда это происходит.