Сократите, пожалуйста, дробь: 216^(n-1) / (3 * 6^n * 2^(2n-1) * 3^(2n+1)).

Математика 8 класс Сокращение дробей и работа с показателями степени сокращение дроби математика 8 класс дроби упрощение дробей алгебра дроби в алгебре задачи по математике Новый

Чтобы сократить дробь 216^(n-1) / (3 * 6^n * 2^(2n-1) * 3^(2n+1)), давайте сначала разложим все числа на простые множители.

• 216 можно представить как 6^3, так как 6 * 6 * 6 = 216.
• 6 можно разложить на простые множители: 6 = 2 * 3.
• Таким образом, 6^n = (2 * 3)^n = 2^n * 3^n.

Теперь подставим эти разложения в дробь:

216^(n-1) = (6^3)^(n-1) = 6^(3(n-1)) = 2^(3(n-1)) * 3^(3(n-1)).

Теперь запишем дробь с учётом этих разложений:

6^(3(n-1)) / (3 * (2^n * 3^n) * 2^(2n-1) * 3^(2n+1)).

Теперь у нас есть:

2^(3(n-1)) * 3^(3(n-1)) / (3 * 2^n * 2^(2n-1) * 3^n * 3^(2n+1)).

Соберем все множители в знаменателе:

3 * 2^n * 2^(2n-1) * 3^n * 3^(2n+1) = 3^(n + 2n + 1) * 2^(n + 2n - 1) = 3^(3n + 1) * 2^(3n - 1).

Теперь можем записать дробь в следующем виде:

2^(3(n-1)) * 3^(3(n-1)) / (3^(3n + 1) * 2^(3n - 1)).

Теперь сократим дробь:

• Для 2: 2^(3(n-1)) / 2^(3n - 1) = 2^(3(n-1) - (3n - 1)) = 2^(3n - 3 - 3n + 1) = 2^(-2) = 1 / 4.
• Для 3: 3^(3(n-1)) / 3^(3n + 1) = 3^(3(n-1) - (3n + 1)) = 3^(3n - 3 - 3n - 1) = 3^(-4) = 1 / 81.

Теперь мы можем записать окончательный результат:

1 / (4 * 81) = 1 / 324.

Таким образом, сокращенная форма дроби 216^(n-1) / (3 * 6^n * 2^(2n-1) * 3^(2n+1)) равна 1 / 324.