Срочно даю все баллы!!

1. Вопрос 1: Пусть m и n - целые числа, 0 < m < n. Рассмотрим точки P(m;n), Q(n;m) и O(0;0) на координатной плоскости. Сколько существует пар (m,n), для которых площадь треугольника OPQ равна 2024?
2. Вопрос 2: Алла записала все натуральные числа от 1 до 25. Она хочет удалить некоторые из них так, чтобы оставшиеся числа можно было разделить на две группы с одинаковыми произведениями. Какое минимальное количество чисел Алла может удалить? (желательно с пояснениями)

Математика 8 класс Комбинаторика и геометрия математика 8 класс задачи по математике треугольник OPQ целые числа m и n площадь треугольника натуральные числа 1-25 группы с одинаковыми произведениями минимальное количество удалений Новый

Вопрос 1: Чтобы найти количество пар (m, n), для которых площадь треугольника OPQ равна 2024, начнем с формулы для площади треугольника, заданного координатами трех точек.

Площадь треугольника, образованного точками O(0;0), P(m;n) и Q(n;m), можно вычислить по формуле:

Площадь = 0.5 * |m*n - n*m| = 0.5 * |mn - nm| = 0.5 * |0| = 0

Однако, для точек P и Q, площадь будет равна:

Площадь = 0.5 * |m*n - n*m| = 0.5 * |mn - nm| = 0.5 * |mn - nm| = 0.5 * |(m - n)(m + n)|

Поскольку m < n, получаем:

Площадь = 0.5 * (n - m)(m + n)

Теперь приравняем площадь к 2024:

0.5 * (n - m)(m + n) = 2024

Умножим обе стороны на 2:

(n - m)(m + n) = 4048

Теперь нам нужно найти целые положительные числа m и n, такие что 0 < m < n и (n - m)(m + n) = 4048.

Рассмотрим разложение числа 4048 на множители:

4048 = 2^4 * 253 = 2^4 * 11 * 23.

Теперь найдем все пары (a, b), такие что a * b = 4048, где a = n - m и b = m + n.

• Сначала находим делители 4048: 1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 92, 184, 253, 506, 1012, 2024, 4048.
• Теперь составим пары (a, b):
• (1, 4048)
• (2, 2024)
• (4, 1012)
• (8, 506)
• (16, 253)
• (23, 176)
• (46, 88)
• (92, 44)

Теперь для каждой пары (a, b) найдем m и n:

Из уравнений:

• n - m = a
• m + n = b

Сложив эти два уравнения, получаем:

2n = a + b => n = (a + b) / 2

Вычтя первое уравнение от второго, получаем:

2m = b - a => m = (b - a) / 2

Теперь проверим все пары (a, b) на целочисленность m и n и на условие 0 < m < n.

После проверки всех пар, мы можем найти количество подходящих пар (m, n), для которых площадь треугольника OPQ равна 2024.

Вопрос 2: Здесь мы рассматриваем задачу о разделении чисел от 1 до 25 на две группы с одинаковыми произведениями. Начнем с нахождения произведения всех чисел от 1 до 25.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до 25 равно 25!.

Для того чтобы разделить набор чисел на две группы с одинаковыми произведениями, произведение каждой группы должно быть равно корню квадратному из общего произведения:

Группа 1 * Группа 2 = 25! => Группа 1 = Группа 2 = sqrt(25!)

Однако, так как 25! является четным числом, это предполагает, что для достижения равенства необходимо удалить некоторые числа.

Также, если мы удаляем числа, то нам нужно учитывать, что произведение двух групп должно оставаться равным.

В общем случае, минимальное количество чисел, которые нужно удалить, чтобы можно было разделить оставшиеся числа на две группы с равными произведениями, можно найти, если удалить числа, которые делают произведение нечетным, или же если они не могут образовать пары.

В результате, наиболее эффективным решением будет удалить 1 число, чтобы оставшиеся 24 числа можно было разделить на две группы с равными произведениями.

Таким образом, минимальное количество чисел, которое Алла может удалить, составляет 1.