Чтобы найти координаты точки O, для которой выполняется равенство AO = 3OB, мы воспользуемся понятием деления отрезка в заданном отношении.

Пусть координаты точки O равны (x, y). Тогда мы можем записать вектор AO и вектор OB:

• Вектор AO = O - A = (x + 11, y - 8)
• Вектор OB = O - B = (x - 1, y - 2)

Согласно условию, длина вектора AO в 3 раза больше длины вектора OB, что можно записать в виде равенства:

Теперь выразим длины векторов:

• Длина вектора AO = √((x + 11)² + (y - 8)²)
• Длина вектора OB = √((x - 1)² + (y - 2)²)

Подставим эти выражения в равенство:

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

Раскроем скобки:

• (x² + 22x + 121) + (y² - 16y + 64) = 9 * (x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4)

Упрощаем левую часть:

Раскроем правую часть:

Теперь соберем все в одну сторону:

Упрощаем:

Разделим уравнение на -4:

Теперь упростим это уравнение. Перепишем его в стандартном виде:

Теперь можно выделить полный квадрат:

• x² - 5x = (x - 5/2)² - 25/4
• y² - (5/2)y = (y - 5/4)² - 25/16

Подставляем это обратно в уравнение:

После упрощения получаем уравнение, которое можно решить для x и y.

Теперь, чтобы найти координаты вектора OA, мы можем использовать координаты точки A и O. Если мы обозначим O как (x, y),то:

Таким образом, длина вектора OA будет равна:

Для окончательного ответа, необходимо решить уравнение для нахождения координат точки O и подставить их в выражение для длины OA.