Срочно! Много баллов

Даны точки A(-11;8) и B(1;2). Как найти координаты точки O, для которой выполняется равенство AO=3OB? Также требуется найти координаты и длину вектора OA.

Математика 8 класс Векторы и координаты координаты точки O вектор OA равенство AO=3OB точки A и B длина вектора математика 8 класс Новый

Чтобы найти координаты точки O, для которой выполняется равенство AO = 3OB, мы воспользуемся понятием деления отрезка в заданном отношении.

Пусть координаты точки O равны (x, y). Тогда мы можем записать вектор AO и вектор OB:

• Вектор AO = O - A = (x + 11, y - 8)
• Вектор OB = O - B = (x - 1, y - 2)

Согласно условию, длина вектора AO в 3 раза больше длины вектора OB, что можно записать в виде равенства:

AO = 3 * OB

Теперь выразим длины векторов:

• Длина вектора AO = √((x + 11)² + (y - 8)²)
• Длина вектора OB = √((x - 1)² + (y - 2)²)

Подставим эти выражения в равенство:

√((x + 11)² + (y - 8)²) = 3 * √((x - 1)² + (y - 2)²)

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(x + 11)² + (y - 8)² = 9 * ((x - 1)² + (y - 2)²)

Раскроем скобки:

• (x² + 22x + 121) + (y² - 16y + 64) = 9 * (x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4)

Упрощаем левую часть:

x² + y² + 22x - 16y + 185 = 9 * (x² + y² - 2x - 4y + 5)

Раскроем правую часть:

9x² + 9y² - 18x - 36y + 45

Теперь соберем все в одну сторону:

x² + y² + 22x - 16y + 185 - 9x² - 9y² + 18x + 36y - 45 = 0

Упрощаем:

-8x² - 8y² + 40x + 20y + 140 = 0

Разделим уравнение на -4:

2x² + 2y² - 10x - 5y - 35 = 0

Теперь упростим это уравнение. Перепишем его в стандартном виде:

2(x² - 5x) + 2(y² - (5/2)y) = 35

Теперь можно выделить полный квадрат:

• x² - 5x = (x - 5/2)² - 25/4
• y² - (5/2)y = (y - 5/4)² - 25/16

Подставляем это обратно в уравнение:

2((x - 5/2)² - 25/4) + 2((y - 5/4)² - 25/16) = 35

После упрощения получаем уравнение, которое можно решить для x и y.

Теперь, чтобы найти координаты вектора OA, мы можем использовать координаты точки A и O. Если мы обозначим O как (x, y), то:

OA = O - A = (x + 11, y - 8)

Таким образом, длина вектора OA будет равна:

длина OA = √((x + 11)² + (y - 8)²)

Для окончательного ответа, необходимо решить уравнение для нахождения координат точки O и подставить их в выражение для длины OA.