СРОЧНО

Установите закономерность и найдите формулу n-го члена последовательности 0; 3; 8; 15; 24; ...; x_n;.....; x_n=?

Если можно, с объяснением.

Математика 8 класс Тематика: Последовательности и ряды последовательность закономерность формула n-го члена математика 8 класс x_n решение задачи объяснение математика последовательности числовая последовательность Новый

Давайте проанализируем данную последовательность: 0, 3, 8, 15, 24, ...

Первым шагом мы найдем разности между соседними членами последовательности. Это поможет нам выявить закономерности:

• 3 - 0 = 3
• 8 - 3 = 5
• 15 - 8 = 7
• 24 - 15 = 9

Теперь запишем полученные разности:

• 3, 5, 7, 9

Теперь найдем разности между этими разностями:

• 5 - 3 = 2
• 7 - 5 = 2
• 9 - 7 = 2

Полученные разности равны 2, что говорит нам о том, что первая разность является линейной последовательностью. Это означает, что исходная последовательность является квадратичной.

Теперь мы можем предположить, что n-й член последовательности имеет вид:

xn = an^2 + bn + c

Где a, b и c - некоторые константы. Чтобы найти эти константы, подставим известные значения:

1. Для n = 1: x1 = 0 = a(1)^2 + b(1) + c → a + b + c = 0
2. Для n = 2: x2 = 3 = a(2)^2 + b(2) + c → 4a + 2b + c = 3
3. Для n = 3: x3 = 8 = a(3)^2 + b(3) + c → 9a + 3b + c = 8

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

• 1) a + b + c = 0
• 2) 4a + 2b + c = 3
• 3) 9a + 3b + c = 8

Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

• 2) - 1): 4a + 2b + c - (a + b + c) = 3 - 0 → 3a + b = 3
• 3) - 1): 9a + 3b + c - (a + b + c) = 8 - 0 → 8a + 2b = 8

Теперь у нас есть новая система уравнений:

• 1) 3a + b = 3
• 2) 8a + 2b = 8

Из первого уравнения выразим b:

b = 3 - 3a

Подставим b во второе уравнение:

8a + 2(3 - 3a) = 8

8a + 6 - 6a = 8

2a + 6 = 8

2a = 2

a = 1

Теперь подставим значение a в выражение для b:

b = 3 - 3(1) = 0

Теперь подставим a и b в первое уравнение для нахождения c:

a + b + c = 0 → 1 + 0 + c = 0 → c = -1

Теперь мы знаем, что a = 1, b = 0 и c = -1. Таким образом, формула n-го члена последовательности будет:

xn = n^2 - 1

Теперь можем проверить нашу формулу:

• Для n = 1: x1 = 1^2 - 1 = 0
• Для n = 2: x2 = 2^2 - 1 = 3
• Для n = 3: x3 = 3^2 - 1 = 8
• Для n = 4: x4 = 4^2 - 1 = 15
• Для n = 5: x5 = 5^2 - 1 = 24

Таким образом, формула n-го члена последовательности действительно верна. Ответ: xn = n^2 - 1