Для решения задачи начнем с анализа данных. У нас есть окружность радиусом 4, в которую вписан треугольник ABC. Известно, что AB = 8, а стороны BC и AC равны. Это значит, что треугольник ABC является равнобедренным.

Пусть BC = AC = x. Так как AB = 8, мы можем использовать теорему о вписанном угле. В треугольнике ABC, угол ACB будет равен углу ABC, так как треугольник равнобедренный.

Теперь, чтобы найти угол BDC, воспользуемся свойством вписанных углов. Угол BDC будет равен половине угла BAC, который является углом между сторонами AB и AC.

Для нахождения угла BAC, мы можем использовать закон косинусов в треугольнике ABC:

1. Согласно закону косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), где c - сторона, противолежащая углу C, а a и b - другие стороны.
2. В нашем случае: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(BAC).
3. Подставим известные значения: x^2 = 8^2 + x^2 - 2 * 8 * x * cos(BAC).
4. Упростим уравнение: 0 = 64 - 16x * cos(BAC).
5. Отсюда: cos(BAC) = 4/x.

Теперь, чтобы найти угол BDC, нам нужно знать угол BAC. Поскольку мы знаем, что радиус окружности равен 4, мы можем воспользоваться свойством вписанных углов:

Угол BDC равен углу BAC, деленному на 2:

угол BDC = 1/2 * угол BAC.

Так как мы не знаем значение x, но знаем, что треугольник ABC является равнобедренным, мы можем использовать свойства равнобедренных треугольников и вписанных углов.

На основании свойств окружности и равнобедренного треугольника, можно утверждать, что угол BDC будет равен 60 градусам, так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны и в сумме дают 120 градусов.

Ответ: угол BDC равен 60 градусам.