Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Определим координаты вершин треугольника ABC.

• Пусть A(0, 0) - одна из вершин треугольника.
• Точка B(√3, 0) - вторая вершина, так как сторона AB равна √3.
• Точка C(√3/2, √3/2) - третья вершина, так как в правильном треугольнике высота равна (√3/2) * √3 = √3/2.

2. Найдем координаты медианы BK.

Медиана BK делит сторону AC пополам. Найдем координаты точки K, которая является серединой отрезка AC:

• K((0 + √3/2)/2, (0 + √3/2)/2) = (√3/4, √3/4).

3. Теперь найдем уравнение прямой BC.

Для этого определим наклон (угловой коэффициент) прямой BC:

• Наклон m = (yC - yB) / (xC - xB) = (√3/2 - 0) / (√3/2 - √3) = (√3/2) / (-√3/2) = -1.

Теперь можно записать уравнение прямой BC в виде:

• y - yB = m(x - xB), где (xB, yB) - координаты точки B(√3, 0).
• y - 0 = -1(x - √3), что упрощается до y = -x + √3.

4. Теперь найдем уравнение перпендикуляра KE к стороне BC.

Перпендикуляр к прямой с угловым коэффициентом -1 имеет угловой коэффициент 1. Уравнение прямой KE, проходящей через точку K(√3/4, √3/4), будет:

• y - √3/4 = 1(x - √3/4), что упрощается до y = x.

5. Теперь найдем точку пересечения прямых KE и BC.

Решим систему уравнений:

• y = -x + √3 (уравнение BC)
• y = x (уравнение KE)

Подставим y из второго уравнения в первое:

• x = -x + √3.

Решим уравнение:

• 2x = √3,
• x = √3/2.

Теперь найдем y:

• y = √3/2.

Таким образом, точка E(√3/2, √3/2) - это точка пересечения.

6. Теперь найдем длину перпендикуляра KE.

Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:

• Расстояние KE = √((xE - xK)² + (yE - yK)²).

Подставим координаты:

• KE = √((√3/2 - √3/4)² + (√3/2 - √3/4)²).

Упростим выражение:

• KE = √((√3/4)² + (√3/4)²) = √(2 * (√3/4)²) = √(2 * 3/16) = √(3/8) = √3/2√2 = (√6)/4.

Таким образом, длина перпендикуляра KE равна (√6)/4.