В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине B равен 120 градусов, а длина стороны AC составляет 2√21. Какова длина медианы AM?

Математика 8 класс Медианы и треугольники равнобедренный треугольник треугольник ABC угол B 120 градусов длина стороны AC медиана AM длина медианы задачи по математике 8 класс геометрия свойства треугольников решение задач формулы медианы Новый

Для начала давайте вспомним, что в равнобедренном треугольнике ABC, где угол при вершине B равен 120 градусов, стороны AB и BC равны между собой. Мы знаем, что длина стороны AC составляет 2√21.

Нам нужно найти длину медианы AM, которая опускается из вершины A на основание BC. Так как B является вершиной угла, равного 120 градусов, мы можем начать с того, что угол ACB будет равен 30 градусов, поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Теперь, чтобы найти длину медианы AM, нам нужно сначала определить длину стороны AB или BC. Так как это равнобедренный треугольник, стороны AB и BC равны.

Для этого применим закон косинусов. По закону косинусов в треугольнике ABC мы можем записать следующее уравнение:

1. AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(B)

Подставляем известные значения:

• AC = 2√21
• BC = AB = x (обозначим длину равных сторон как x)
• cos(120°) = -0.5

Тогда у нас получится:

1. x² = (2√21)² + x² - 2 * (2√21) * x * (-0.5)
2. x² = 84 + x² + 2√21 * x

Сокращаем x² с обеих сторон:

1. 0 = 84 + 2√21 * x

Теперь мы можем выразить x:

1. 2√21 * x = -84
2. x = -84 / (2√21)

Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы используем положительное значение x = 6√21. Теперь, когда мы знаем длины сторон, можем перейти к нахождению медианы.

Далее, чтобы найти длину медианы AM, воспользуемся формулой для вычисления длины медианы в треугольнике:

1. AM = 1/2 * √(2AB² + 2AC² - BC²)

Подставляем значения:

1. AM = 1/2 * √(2*(6√21)² + 2*(2√21)² - (6√21)²)
2. AM = 1/2 * √(2*756 + 2*84 - 756)
3. AM = 1/2 * √(1512 + 168 - 756)
4. AM = 1/2 * √(924)
5. AM = 1/2 * 6√21

В итоге, длина медианы AM будет равна 3√21.