2025-01-09 00:19:14
В равнобедренном треугольнике АВС (где АВ = AC) проведена высота АЕ к основанию ВС. Вершина С находится на оси х, а координаты точек следующие: А(4, 14) и E(0, 2). Пожалуйста, решите следующие задачи:
- Какой угловой коэффициент у прямой АЕ?
- Какое уравнение имеет прямая ВС?
- Каковы координаты вершины С?
- Каковы координаты вершины В?
- Прямая, проведенная через вершину В и параллельная высоте АЕ (обозначенная на чертеже пунктиром), пересекает ось у в точке F. Каково уравнение прямой BF?
- Каков периметр треугольника FBE?
Математика 8 класс Координаты и уравнения прямых угловой коэффициент прямой уравнение прямой координаты вершины периметр треугольника высота в треугольнике
2025-01-09 00:19:52
Давайте поэтапно решим все задачи, связанные с равнобедренным треугольником ABC.
1. Какой угловой коэффициент у прямой АЕ?Для нахождения углового коэффициента прямой, проходящей через две точки, используем формулу:
k = (y2 - y1) / (x2 - x1),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек. В нашем случае A(4, 14) и E(0, 2).
- x1 = 4, y1 = 14
- x2 = 0, y2 = 2
Подставим значения в формулу:
k = (2 - 14) / (0 - 4) = -12 / -4 = 3.
Таким образом, угловой коэффициент прямой АЕ равен 3.
2. Какое уравнение имеет прямая ВС?Поскольку АЕ - высота, то прямая АЕ перпендикулярна прямой ВС. Угловой коэффициент прямой АЕ равен 3, значит, угловой коэффициент прямой ВС будет равен -1/3 (поскольку произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1).
Теперь найдем уравнение прямой ВС. У нас есть точка E(0, 2) и угловой коэффициент -1/3. Используем уравнение прямой в виде:
y - y1 = k(x - x1),
где (x1, y1) - точка E(0, 2), а k = -1/3.
Подставим значения:
y - 2 = -1/3(x - 0),
или y - 2 = -1/3 x.
Таким образом, уравнение прямой ВС: y = -1/3 x + 2.
3. Каковы координаты вершины С?Вершина C находится на оси x, следовательно, ее координаты имеют вид (x, 0). Подставим y = 0 в уравнение прямой ВС:
0 = -1/3 x + 2.
Решим уравнение:
1/3 x = 2,
x = 6.
Таким образом, координаты вершины C: (6, 0).
4. Каковы координаты вершины B?Вершина B также находится на прямой ВС. Чтобы найти координаты B, воспользуемся тем, что AB = AC. Мы уже знаем координаты A(4, 14) и C(6, 0). Используем формулу расстояния:
AB = √((xB - 4)² + (yB - 14)²),
AC = √((6 - 4)² + (0 - 14)²) = √(2² + 14²) = √(4 + 196) = √200 = 10√2.
Теперь у нас есть два равных отрезка: AB = AC = 10√2. Мы можем использовать уравнение прямой ВС для нахождения yB:
yB = -1/3 xB + 2.
Так как B находится на прямой, мы можем подставить значение yB в формулу расстояния и решить систему уравнений. Но проще всего заметить, что координаты B будут симметричны относительно прямой AE.
Таким образом, координаты B: (2, 8).
5. Каково уравнение прямой BF?Прямая BF будет параллельна высоте AE, следовательно, ее угловой коэффициент будет равен 3. У нас есть точка B(2, 8). Используем уравнение прямой:
y - y1 = k(x - x1),
где (x1, y1) = (2, 8) и k = 3.
Подставляем:
y - 8 = 3(x - 2),
или y - 8 = 3x - 6.
Таким образом, уравнение прямой BF: y = 3x + 2.
6. Каков периметр треугольника FBE?Чтобы найти периметр треугольника FBE, нам нужно найти длины всех сторон: FB, BE и EF.
Сначала найдем координаты точки F, которая пересекает ось y:
Подставим x = 0 в уравнение BF: y = 3(0) + 2 = 2. Таким образом, F(0, 2).
Теперь находим длины сторон:
- FB = √((0 - 2)² + (2 - 8)²) = √(4 + 36) = √40 = 2√10.
- BE = √((0 - 2)² + (2 - 8)²) = √(4 + 36) = √40 = 2√10.
- EF = √((0 - 0)² + (2 - 2)²) = 0.
Таким образом, периметр треугольника FBE: P = FB + BE + EF = 2√10 + 2√10 + 0 = 4√10.
В итоге, все задачи решены, и мы получили следующие результаты:
- Угловой коэффициент прямой АЕ: 3.
- Уравнение прямой ВС: y = -1/3 x + 2.
- Координаты вершины C: (6, 0).
- Координаты вершины B: (2, 8).
- Уравнение прямой BF: y = 3x + 2.
- Периметр треугольника FBE: 4√10.
