В ряд записали числа 56^56, 57^57, 58^58, …, 218^218, то есть выписали числа вида nn для натуральных n от 56 до 218. Сколько среди выписанных чисел являются точными квадратами, где точным квадратом называют квадрат целого числа?

Математика 8 класс Точные квадраты и свойства степеней числа вида nn точные квадраты натуральные числа математика 8 класс задача на квадрат последовательность чисел свойства квадратов Новый

Чтобы определить, сколько из чисел вида n^n, где n принимает значения от 56 до 218, являются точными квадратами, нужно рассмотреть, при каких условиях n^n является квадратом.

Шаг 1: Условия для точного квадрата

Число n^n будет точным квадратом, если n является четным числом. Это связано с тем, что квадрат любого четного числа также будет четным, а квадрат нечетного числа - нечетным. Таким образом, если n четное, то n^n = (n^(n/2))^2, что является квадратом.

Шаг 2: Определение четных чисел в диапазоне

Теперь найдем четные числа в диапазоне от 56 до 218. Четные числа можно представить в виде последовательности:

• 56, 58, 60, ..., 218

Это арифметическая прогрессия, где:

• Первый член a = 56
• Последний член l = 218
• Разность d = 2

Шаг 3: Формула для нахождения количества членов

Количество четных чисел можно найти по формуле для n-го члена арифметической прогрессии:

n = (l - a) / d + 1

Подставим значения:

• a = 56
• l = 218
• d = 2

Тогда:

n = (218 - 56) / 2 + 1 = 162 / 2 + 1 = 81 + 1 = 82

Шаг 4: Ответ

Таким образом, среди чисел n^n, где n от 56 до 218, точными квадратами являются 82 числа, так как все четные n в этом диапазоне дают точные квадраты.

Ответ: 82