1. Как найти два числа, если их сумма равна 480, и если убрать последнюю цифру первого числа, то получится второе число, деленное на 7?

2. Какой остаток будет при делении на 11 числа a^2 + 5a + 1, если известно, что натуральное число a при делении на 11 дает остаток 7?

3. Сколько точек было в начале, если на прямой отметили несколько точек, между каждыми соседними точками вставили по три точки, и в итоге получилось 2017 точек?

4. Как найти наибольшее возможное значение выражения 20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2 и при каких значениях переменных оно достигается?

Математика 9 класс Системы уравнений, Остатки при делении, Комбинаторика, Оптимизация выражений математика 9 класс задачи по математике сумма чисел деление на 7 остаток при делении натуральное число количество точек наибольшее значение выражения переменные в математике Новый

1. Найдем два числа, сумма которых равна 480, и одно из которых связано с другим через удаление последней цифры.

Обозначим первое число как x, а второе число как y. У нас есть два уравнения:

• x + y = 480
• y = (x без последней цифры) * 7

Удаление последней цифры числа x можно выразить как x // 10 (целочисленное деление на 10). Следовательно, второе уравнение можно записать так:

• y = (x // 10) * 7

Теперь подставим y из второго уравнения в первое:

• x + (x // 10) * 7 = 480

Умножим обе стороны уравнения на 10, чтобы избавиться от деления:

• 10x + 7x = 4800

Сложим x:

• 17x = 4800

Теперь найдем x:

• x = 4800 / 17 ≈ 282.35

Поскольку x должно быть целым числом, округлим его до ближайшего целого числа, то x = 282. Теперь найдем y:

• y = 480 - 282 = 198

Проверим, выполняется ли условие:

• y = (282 // 10) * 7 = 28 * 7 = 196

Таким образом, числа 282 и 198 подходят под условия задачи.

2. Найдем остаток при делении на 11 числа a^2 + 5a + 1, если a = 7 (остаток при делении на 11).

Подставим a = 7 в выражение:

• a^2 + 5a + 1 = 7^2 + 5*7 + 1
• = 49 + 35 + 1
• = 85

Теперь найдем остаток от деления 85 на 11:

• 85 / 11 = 7 с остатком 8.

Таким образом, остаток при делении равен 8.

3. Найдем, сколько точек было в начале, если между каждой парой точек вставили по три точки, и в итоге получилось 2017 точек.

Обозначим количество исходных точек как n. Между n точками вставляют (n - 1) * 3 новых точки. Таким образом, общее количество точек будет:

• n + (n - 1) * 3 = 2017

Упростим это уравнение:

• n + 3n - 3 = 2017
• 4n - 3 = 2017
• 4n = 2020
• n = 505

Таким образом, в начале было 505 точек.

4. Найдем наибольшее значение выражения 20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2.

Это выражение является квадратичной функцией от трех переменных. Мы можем использовать метод нахождения максимума для квадратичной функции.

Для этого нужно найти частные производные по x, y и z, приравнять их к нулю и решить систему уравнений:

• ∂/∂x (20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2) = 20 - 4x = 0
• ∂/∂y (20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2) = -4 - 8y = 0
• ∂/∂z (20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2) = 6 - 6z = 0

Решая эти уравнения, мы найдем:

• x = 5, y = -0.5, z = 1.

Теперь подставим эти значения обратно в выражение, чтобы найти максимальное значение:

• 20(5) - 4(-0.5) + 6(1) - 2(5^2) - 4(-0.5^2) - 3(1^2) - 2 = 100 + 2 + 6 - 50 - 1 - 3 - 2 = 52.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 52, и оно достигается при x = 5, y = -0.5, z = 1.