Алёна решила создать таблицу степеней остатков по модулю 77. В первой строке она записала все остатки, которые взаимно просты с 77. Во второй строке — их квадраты, затем — кубы и так далее. В какой строке она впервые получит ту же самую строку, что и в начале?

Математика 9 класс Степени и остатки по модулю математика 9 класс степени остатков модуль 77 взаимно простые числа квадраты кубы таблица остатков периодичность остатков алгебра задачи по математике число 77 свойства чисел остатки по модулю Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим, какие остатки по модулю 77 взаимно просты с 77. Остатки, которые нас интересуют, это числа от 1 до 76, которые не имеют общих делителей с 77, кроме 1.

Шаг 1: Найдем делители числа 77.

Число 77 можно разложить на простые множители:

• 77 = 7 * 11

Следовательно, делителями числа 77 являются 1, 7, 11 и 77.

Шаг 2: Находим остатки, которые взаимно просты с 77.

Теперь мы можем найти числа от 1 до 76, которые не делятся ни на 7, ни на 11. Это можно сделать, перебирая числа и проверяя их на делимость.

После проверки, мы получаем следующие остатки:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 75, 76

Всего таких чисел 48.

Шаг 3: Находим квадраты, кубы и так далее.

Теперь мы можем вычислить квадраты этих чисел по модулю 77, затем кубы и так далее. Мы ищем первую степень, при которой получим ту же строку, что и в начале.

Чтобы упростить задачу, заметим, что числа, которые взаимно просты с 77, образуют группу по умножению по модулю 77. Порядок этой группы равен количеству элементов, которые мы нашли, то есть 48.

Шаг 4: Определяем порядок группы.

Порядок группы показывает, сколько раз нам нужно возвести элементы в степень, чтобы получить первоначальный набор остатков. В данной группе порядок равен 48, следовательно,:

• при возведении в 48-ю степень мы получим исходные остатки.

Ответ: Алёна впервые получит ту же самую строку в 48-й строке.