Давайте решим задачу по шагам.

1. Найдем интеграл функции y = 2x - x^2:

Интеграл функции можно найти, используя правило интегрирования для степенных функций. Мы будем интегрировать каждое слагаемое отдельно:

• ∫ 2x dx = 2 * (x^2 / 2) = x^2
• ∫ -x^2 dx = - (x^3 / 3)

Теперь сложим результаты:

∫ (2x - x^2) dx = x^2 - (x^3 / 3) + C, где C - константа интегрирования.

2. Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x = 0 и x = 2:

Площадь криволинейной трапеции можно найти, вычислив определенный интеграл от функции на заданном интервале:

Площадь S = ∫ (2x - x^2) dx от 0 до 2.

Подставим пределы интегрирования:

S = [x^2 - (x^3 / 3)] от 0 до 2.

Теперь вычислим значение интеграла в пределах от 0 до 2:

• Подставляем x = 2: S(2) = 2^2 - (2^3 / 3) = 4 - (8 / 3) = 4 - 2.67 = 1.33.
• Подставляем x = 0: S(0) = 0^2 - (0^3 / 3) = 0.

Теперь находим площадь:

S = S(2) - S(0) = 1.33 - 0 = 1.33.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 1.33.

3. Вычислим объем фигуры, вращающейся вокруг оси OX:

Для вычисления объема вращающейся фигуры используем метод дисков:

V = π ∫ (f(x))^2 dx от 0 до 2, где f(x) = 2x - x^2.

Теперь найдем V:

V = π ∫ (2x - x^2)^2 dx от 0 до 2.

Раскроем скобки:

(2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4.

Теперь интегрируем:

V = π ∫ (4x^2 - 4x^3 + x^4) dx от 0 до 2.

Интегрируем каждое слагаемое:

• ∫ 4x^2 dx = (4/3)x^3
• ∫ -4x^3 dx = -(4/4)x^4 = -x^4
• ∫ x^4 dx = (1/5)x^5

Теперь подставим пределы интегрирования:

V = π [(4/3)x^3 - x^4 + (1/5)x^5] от 0 до 2.

Вычислим значение интеграла:

• Подставляем x = 2: V(2) = π [(4/3)(2^3) - (2^4) + (1/5)(2^5)] = π [(4/3)(8) - 16 + (1/5)(32)] = π [(32/3) - 16 + (32/5)].
• Подставляем x = 0: V(0) = 0.

Теперь находим V(2):

V(2) = π [(32/3) - 16 + (32/5)] = π [(32/3) - (48/3) + (32/5)] = π [(-16/3) + (32/5)].

Теперь найдем общий знаменатель для сложения дробей:

Общий знаменатель 15:

• (-16/3) = -80/15
• (32/5) = 96/15

Теперь складываем:

V(2) = π [(-80/15) + (96/15)] = π [16/15].

Таким образом, объем фигуры, вращающейся вокруг оси OX, равен V = (16π/15).

В результате мы нашли:

• Интеграл: x^2 - (x^3 / 3) + C
• Площадь криволинейной трапеции: 1.33
• Объем фигуры: (16π/15)