Даны два кубических многочлена P(x) и Q(x). У P(x) и Q(x) равны суммы коэффициентов при четных степенях (включая нулевую) и равны суммы коэффициентов при нечетных степенях. Найдите P(3)−Q(3), если P(2)−Q(2)=9.

Математика 9 класс Свойства многочленов математика 9 класс кубические многочлены p(x) Q(x) суммы коэффициентов четные степени нечетные степени P(3) Q(3) P(2) Q(2) задача на многочлены алгебра решение уравнений свойства многочленов Новый

Рассмотрим кубические многочлены P(x) и Q(x) в общем виде:

• P(x) = a3*x^3 + a2*x^2 + a1*x + a0
• Q(x) = b3*x^3 + b2*x^2 + b1*x + b0

Сначала найдем суммы коэффициентов при четных и нечетных степенях для обоих многочленов:

• Сумма коэффициентов при четных степенях для P(x): S_even(P) = a2 + a0
• Сумма коэффициентов при нечетных степенях для P(x): S_odd(P) = a3 + a1
• Сумма коэффициентов при четных степенях для Q(x): S_even(Q) = b2 + b0
• Сумма коэффициентов при нечетных степенях для Q(x): S_odd(Q) = b3 + b1

По условию задачи, у нас есть равенства:

• S_even(P) = S_even(Q)
• S_odd(P) = S_odd(Q)

Теперь, нам дано, что P(2) - Q(2) = 9. Подставим x = 2 в многочлены:

• P(2) = a3*2^3 + a2*2^2 + a1*2 + a0 = 8a3 + 4a2 + 2a1 + a0
• Q(2) = b3*2^3 + b2*2^2 + b1*2 + b0 = 8b3 + 4b2 + 2b1 + b0

Таким образом, у нас есть:

P(2) - Q(2) = (8a3 + 4a2 + 2a1 + a0) - (8b3 + 4b2 + 2b1 + b0) = 9

Теперь, найдем P(3) - Q(3):

• P(3) = a3*3^3 + a2*3^2 + a1*3 + a0 = 27a3 + 9a2 + 3a1 + a0
• Q(3) = b3*3^3 + b2*3^2 + b1*3 + b0 = 27b3 + 9b2 + 3b1 + b0

Таким образом:

P(3) - Q(3) = (27a3 + 9a2 + 3a1 + a0) - (27b3 + 9b2 + 3b1 + b0)

Сгруппируем по коэффициентам:

P(3) - Q(3) = (27a3 - 27b3) + (9a2 - 9b2) + (3a1 - 3b1) + (a0 - b0)

Вынесем общий множитель:

P(3) - Q(3) = 27(a3 - b3) + 9(a2 - b2) + 3(a1 - b1) + (a0 - b0)

Теперь, воспользуемся равенствами для четных и нечетных коэффициентов:

• Так как S_even(P) = S_even(Q), то a2 + a0 = b2 + b0. Это означает, что (a0 - b0) = (b2 - a2).
• Аналогично, S_odd(P) = S_odd(Q) означает, что (a1 - b1) = (b3 - a3).

Таким образом, можем выразить P(3) - Q(3) через P(2) - Q(2):

Мы знаем, что P(2) - Q(2) = 9. Теперь мы можем подставить это значение:

P(3) - Q(3) = 27(a3 - b3) + 9(a2 - b2) + 3(a1 - b1) + (a0 - b0)

Так как все суммы коэффициентов равны, мы можем предположить, что разница между P и Q будет пропорциональна их значениям при x = 2. Поэтому:

P(3) - Q(3) = 3 (P(2) - Q(2)) = 3 9 = 27.

Таким образом, окончательный ответ:

P(3) - Q(3) = 27.