Чтобы решить задачу, давайте поэтапно выполним все необходимые вычисления.

1. Записать векторы в системе координат и вычислить их модули.

Сначала найдем векторы, образованные вершинами пирамиды. Для этого вычислим векторы AB, AC и AD:

• Вектор AB = B - A = (7 - 3; 5 - 1; -1 - 1) = (4; 4; -2)
• Вектор AC = C - A = (5 - 3; 12 - 1; -9 - 1) = (2; 11; -10)
• Вектор AD = D - A = (3 - 3; 3 - 1; 2 - 1) = (0; 2; 1)

Теперь вычислим модули этих векторов:

• Модуль AB = √(4² + 4² + (-2)²) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6
• Модуль AC = √(2² + 11² + (-10)²) = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15
• Модуль AD = √(0² + 2² + 1²) = √(0 + 4 + 1) = √5

2. Определить угол между векторами.

Для нахождения угла между векторами AB и AC используем формулу:

cos(θ) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|),

где "•" обозначает скалярное произведение векторов.

Сначала найдем скалярное произведение:

• AB • AC = (4 * 2) + (4 * 11) + (-2 * -10) = 8 + 44 + 20 = 72

Теперь подставим в формулу для нахождения косинуса угла:

• cos(θ) = 72 / (6 * 15) = 72 / 90 = 0.8

Теперь найдем угол θ:

• θ = arccos(0.8) ≈ 36.87°.

3. Определить проекцию одного вектора на другой.

Для нахождения проекции вектора AB на вектор AC используем формулу:

proj_AC(AB) = (AB • AC) / |AC|² * AC.

Сначала найдем |AC|²:

• |AC|² = 15² = 225.

Теперь подставим в формулу:

• proj_AC(AB) = (72 / 225) * AC = (72 / 225) * (2; 11; -10) = (0.64; 3.2; -2.4).

4. Вычислить площадь грани ABC.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |AB × AC|,

где "×" — векторное произведение.

Сначала найдем векторное произведение AB и AC:

• AB × AC = |i j k|
• |4 4 -2|
• |2 11 -10|

Вычисляем определитель:

• AB × AC = i(4 * (-10) - (-2) * 11) - j(4 * (-10) - (-2) * 2) + k(4 * 11 - 4 * 2)
• = i(-40 + 22) - j(-40 + 4) + k(44 - 8)
• = i(-18) - j(-36) + k(36)
• = (-18; 36; 36).

Теперь найдем модуль этого вектора:

• |AB × AC| = √((-18)² + 36² + 36²) = √(324 + 1296 + 1296) = √2916 = 54.

Теперь подставим в формулу для площади:

• Площадь = 0.5 * 54 = 27.

5. Вычислить объем пирамиды ABCD.

Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где S — площадь основания (в нашем случае треугольник ABC),а h — высота от точки D до плоскости ABC.

Поскольку мы уже нашли площадь S = 27, нам нужно найти высоту h. Для этого используем формулу:

h = |(AD • n)| / |n|,

где n — нормальный вектор плоскости ABC, который мы можем найти из векторного произведения AB и AC, а AD — вектор от A до D.

Мы уже нашли AB × AC = (-18; 36; 36),так что n = (-18; 36; 36).

Теперь найдем модуль n:

• |n| = 54.

Теперь найдем AD • n:

• AD • n = (0; 2; 1) • (-18; 36; 36) = 0 * -18 + 2 * 36 + 1 * 36 = 72 + 36 = 108.

Теперь можем найти высоту h:

• h = |108| / 54 = 2.

Теперь подставим в формулу для объема:

• V = (1/3) * 27 * 2 = 18.

Таким образом, объем пирамиды ABCD равен 18.

Итак, результаты:

• Модули векторов: |AB| = 6, |AC| = 15, |AD| = √5.
• Угол между AB и AC: θ ≈ 36.87°.
• Проекция AB на AC: (0.64; 3.2; -2.4).
• Площадь грани ABC: 27.
• Объем пирамиды ABCD: 18.