Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Что нужно сделать:

1. Записать векторы в системе координат и вычислить их модули;
2. Определить угол между векторами;
3. Определить проекцию одного вектора на другой;
4. Вычислить площадь грани ABC;
5. Вычислить объем пирамиды ABCD.

A(3;1;1), B(7;5;-1), C(5;12;-9), D(3;3;2).

Математика 9 класс Векторы и их применение в пространстве координаты вершин пирамиды векторы в системе координат вычисление модулей векторов угол между векторами проекция вектора на вектор площадь грани ABC объем пирамиды ABCD Новый

Чтобы решить задачу, давайте поэтапно выполним все необходимые вычисления.

1. Записать векторы в системе координат и вычислить их модули.

Сначала найдем векторы, образованные вершинами пирамиды. Для этого вычислим векторы AB, AC и AD:

• Вектор AB = B - A = (7 - 3; 5 - 1; -1 - 1) = (4; 4; -2)
• Вектор AC = C - A = (5 - 3; 12 - 1; -9 - 1) = (2; 11; -10)
• Вектор AD = D - A = (3 - 3; 3 - 1; 2 - 1) = (0; 2; 1)

Теперь вычислим модули этих векторов:

• Модуль AB = √(4² + 4² + (-2)²) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6
• Модуль AC = √(2² + 11² + (-10)²) = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15
• Модуль AD = √(0² + 2² + 1²) = √(0 + 4 + 1) = √5

2. Определить угол между векторами.

Для нахождения угла между векторами AB и AC используем формулу:

cos(θ) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|),

где "•" обозначает скалярное произведение векторов.

Сначала найдем скалярное произведение:

• AB • AC = (4 * 2) + (4 * 11) + (-2 * -10) = 8 + 44 + 20 = 72

Теперь подставим в формулу для нахождения косинуса угла:

• cos(θ) = 72 / (6 * 15) = 72 / 90 = 0.8

Теперь найдем угол θ:

• θ = arccos(0.8) ≈ 36.87°.

3. Определить проекцию одного вектора на другой.

Для нахождения проекции вектора AB на вектор AC используем формулу:

proj_AC(AB) = (AB • AC) / |AC|² * AC.

Сначала найдем |AC|²:

• |AC|² = 15² = 225.

Теперь подставим в формулу:

• proj_AC(AB) = (72 / 225) * AC = (72 / 225) * (2; 11; -10) = (0.64; 3.2; -2.4).

4. Вычислить площадь грани ABC.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |AB × AC|,

где "×" — векторное произведение.

Сначала найдем векторное произведение AB и AC:

• AB × AC = |i j k|
• |4 4 -2|
• |2 11 -10|

Вычисляем определитель:

• AB × AC = i(4 * (-10) - (-2) * 11) - j(4 * (-10) - (-2) * 2) + k(4 * 11 - 4 * 2)
• = i(-40 + 22) - j(-40 + 4) + k(44 - 8)
• = i(-18) - j(-36) + k(36)
• = (-18; 36; 36).

Теперь найдем модуль этого вектора:

• |AB × AC| = √((-18)² + 36² + 36²) = √(324 + 1296 + 1296) = √2916 = 54.

Теперь подставим в формулу для площади:

• Площадь = 0.5 * 54 = 27.

5. Вычислить объем пирамиды ABCD.

Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где S — площадь основания (в нашем случае треугольник ABC), а h — высота от точки D до плоскости ABC.

Поскольку мы уже нашли площадь S = 27, нам нужно найти высоту h. Для этого используем формулу:

h = |(AD • n)| / |n|,

где n — нормальный вектор плоскости ABC, который мы можем найти из векторного произведения AB и AC, а AD — вектор от A до D.

Мы уже нашли AB × AC = (-18; 36; 36), так что n = (-18; 36; 36).

Теперь найдем модуль n:

• |n| = 54.

Теперь найдем AD • n:

• AD • n = (0; 2; 1) • (-18; 36; 36) = 0 * -18 + 2 * 36 + 1 * 36 = 72 + 36 = 108.

Теперь можем найти высоту h:

• h = |108| / 54 = 2.

Теперь подставим в формулу для объема:

• V = (1/3) * 27 * 2 = 18.

Таким образом, объем пирамиды ABCD равен 18.

Итак, результаты:

• Модули векторов: |AB| = 6, |AC| = 15, |AD| = √5.
• Угол между AB и AC: θ ≈ 36.87°.
• Проекция AB на AC: (0.64; 3.2; -2.4).
• Площадь грани ABC: 27.
• Объем пирамиды ABCD: 18.